抽象代数
群论
群的定义
在非空集合$G$中定义运算”$\cdot$”,若满足:
- (I) 运算封闭,即$\forall a,v\in G, ab\in G$
- (II) 运算结合律,即$\forall a,b,c\in G, (ab)c=a(bc)$
- (III) $\forall a,b\in G,ax=b,ya=b$均有解.
则称$G$为群.
若$G$为群,则$G$总有左单位元,即:
- (IV) $\exists e\in G$, $\forall a\in G, ea=a$
若$G$为群,则$G$中任意元素都有左逆,即:
- (V) $\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G, a^{-1}a=e$
可以证明,左单位元也是右单位元,左逆元也是又逆元,单位元和逆元唯一.
给出群$G$第二定义:(I),(II),(III)$\Leftrightarrow$(I),(II),(IV),(V)
群满足左右消去律:
- (III’) $\forall a\in G,ax=ax’\Rightarrow x=x’,ya=y’a\Rightarrow y=y’$
若$G$为有限群,给出第二定义:(I),(II),(III)$\Leftrightarrow$(I),(II),(III’).
在群$G$中,使得$a^n=e$的最小正整数$n$称为$a$的阶.若$n$不存在,称$a$的阶为无穷.
变换群和置换群
设有$A$上的一个变换$\tau$,即$\tau:a\rightarrow\tau(a)$,记作$a^\tau$.
设$|A|=n$,则$A$上的变换共有$n^n$个变换,$n!$个一一变换.
记$S=${$A$的所有一一变换}.在$S$上定义乘法,有$\tau_1\tau_2:a\rightarrow(a^{\tau_1})^{\tau_2}$,则$S$作成群.
反之,如果某集合上的变换作成群,则变换一定是一一的.
Cayley定理:任何群都与变换群同构.
设有群$G$,定义$\forall x\in G,\tau_x: g\rightarrow gx$,容易验证$\tau_x$为$G\rightarrow G$的一一变换.记$\bar G={\tau_x,x\in G}$
规定$\bar G$的乘法,$\tau_x\tau_y=\tau_{xy}$,容易证明$\bar G$为群.
定义$\varphi:G\rightarrow\bar G:x\rightarrow\tau_x$,可以证明$\tau$是同构映射.
有限集合上一一变换称为置换,变换群称为置换群.
$n$个元素的集合共有$n!$种置换,所有置换构成的群称为$n$次对称群.
任何一个置换都可以写成若干循环置换的乘积.
循环群
若群$G$中存在某一元素$a$,任意$G$中的元素都可以表示为$a$的乘方,则称$G$为循环群,$a$为生成元,记为$G=(a)$.
取$G$为所有模$n$剩余类,$G={[0],[1],\cdots[n-1]}$,定义乘法$[a]+[b]=[a+b]$.$G$作成模$n$剩余类加群$\mathbb{Z}_n$.
定理:设$G$为$a$生成的循环群,则$G$的构造由$a$的阶决定:若$a$的阶为无穷,则$G$与整数加群同构;若$a$的阶为$n$,则$G$与模$n$剩余类加群同构.
子群与陪集
- (i) $a,b\in H \Rightarrow ab\in H$
- (ii) $a\in H\Rightarrow a^{-1}\in H$
- (iii) $a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H$
若$G$为群,$H$为$G$的子集,若$H$为群,称为子群.作成子群的条件:(i),(ii)$\Leftrightarrow$(iii).
若$H$有限,作成有限子群的条件:(i).
对群$G$,子群$H$,规定等价关系$a\sim b\Leftrightarrow ab^{-1}\in H$.有等价关系确定群的一个分类$Ha={ha|h\in H}$为$H$的含$a$的右陪集.
对群$G$,子群$H$,规定等价关系$a\sim b\Leftrightarrow b^{-1}a\in H$.有等价关系确定群的一个分类$aH={ah|h\in H}$为$H$的含$a$的左陪集.
记$H=n\mathbb{Z}$，其为整数群$G=\mathbb{Z}$的子群,规定等价关系$a\sim b\Leftrightarrow a-b\in H$,即$a-b=kn,k\in\mathbb{Z}$.右陪集$Ha={h+a|h\in H}={b|a\equiv b(\mathbf{mod}\ n),b\in\mathbb{Z}}$.
陪集具有以下结论:
- 每个陪集中元素个数相同,等于子群$H$中元素个数
- 陪集个数$n=[G:H]=\dfrac{|G|}{|H|}$
- 左右陪集可能不相同,但左右陪集存在双射$Ha\leftrightarrow a^{-1}H$
- 任何元素的阶能整除$G$的阶
- 素数阶群必定只由一个元素生成(循环群)
$S_3={(1),(1,2),(1,3),(2,3),(1,2,3),(1,3,2)}$的子群$H={(1),(1,2,3),(1,3,2)}$有
$H(1)=H(1,2,3)=H(1,3,2)=H$,
$H(1,2)=H(2,3)=H(1,3)={(1,2),(2,3),(1,3)}$,
$(1)H=(1,2,3)H=(1,3,2)H=H$,
$(1,2)H=(2,3)H=(1,3)H={(1,2),(2,3),(1,3)}$.
群$G$的不变子群$N$,如果$\forall a\in G,Na=aN$,记作$N\triangleleft G$.
- 交换群的子群都是不变子群
- 记集合为中心$N={n|an=na,\forall a\in G}$,则$N$是$G$的不变子群
- 子群$N$为不变子群$\Leftrightarrow aNa^{-1}=N,\forall a\in G$
- 子群$N$为不变子群$\Leftrightarrow ana^{-1}\in N,\forall a\in G,\forall n\in N$
$N$为群$G$的不变子群,陪集的集合${aN,bN,\dots},a,b,c\dots\in G$在乘法$(aN)(bN)=(ab)N$作成群,称为商群$G/N$,其阶$|G/N|=\dfrac{|G|}{|N|}$
$N=n\mathbb{Z}$，其为不变子群,在所有分类(陪集)的集合${[0],[1],\dots,[n-1]}$上,加法$[a]+[b]=[a+b]$做成群$\mathbb{Z}_n$.
群同态
设有集合$G$,$\bar G$,分别在其上定义了乘法.若$G$为群,且$G$到$\bar G$关于它们的乘法同态,则$\bar G$也是群.若$G$到$\bar G$关于它们的乘法同构,且$\bar G$为群,则$G$也是群.
设$G$是群,$N\triangleleft G$,则从$G$到$G/H$的映射$\varphi$是同态,称为自然同态.有$\mathrm{ker}\varphi=N$.
群的同态基本定理:设$\varphi$是$G$到$\bar G$的群同态,则$G/\mathrm{ker}\varphi\cong\bar G$
设$\varphi$是$G$到$\bar G$的群同态,则同态像$\varphi(G)$同构于商群$G/\mathrm{ker}\varphi$.
对应定理:设$\varphi$是$G$到$\bar G$的群同态,则
- 若$H$是$G$的子群,则$\varphi(H)$是$\bar G$的子群.
- 若$K$是$\bar G$的子群,则$\varphi^{-1}(K)$是$G$的子群,且$\mathrm{ker}\varphi\subset\varphi^{-1}(K)$
- 映射$H\rightarrow\varphi(H)$定义了$G$的包含$\mathrm{ker}\varphi$的子群族与$\bar G$的子群族间的一一对应,在这个对应下,$H$是$G$的正规子群当且仅当$\varphi(H)$是$\bar G$的正规子群,此时还有$G/H\cong\bar G/\varphi(H)$.
第一同构定理:设$H,N$是群$G$的正规子群,$H\subset N$,则$(G/H)/(N/H)\cong G/N$.
第二同构定理:设$N$是群$G$的正规子群,$K$是$G$的子群,则$N\cap K$是$K$的正规子群,且$KH/H\cong K/N\cap K$.
群$G$到自身的同构称为自同构,全体自同构在映射的复合下构成自同构群$\mathrm{Aut}G$.对$g\in G$自同构$\varphi(x)=gxg^{-1}$称为内自同构,全体内自同构构成内自同构群,记作$\mathrm{Inn}G$,有$\mathrm{Inn}G\triangleleft\mathrm{Aut}G$,且$\mathrm{Inn}G\cong G/C$,其中$C$是$G$的中心.
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