抽代通学经路
基础知识
抽象代数将代数学从一门解方程的学科变成了研究代数运算结构的科学.所谓结构就是事物的框架,是对现行事物的一种抽象.
很多人将”抽象”看作”复杂”的近义词,事实恰恰相反,”抽象”是”具体”的反义词,而”具体”才是”繁杂”的代名词.可以这样说,研究抽象事物永远比研究具体事物来的简单,因为抽象事物反映了一个事物的核心.越是抽象,对事物的约束就越少,我们可以把焦点放在我们真正关心的性质上.同时内涵越小外延越大,我们从这个抽象中得到的结论就具有更强的适用性.
我们无时不刻使用着抽象,举例来说,每个人的身份证号就是一种抽象,其将人抽象为表达身份信息的一串数字,因而身份证号可以用于从个人身份的角度区分人.从身份证号里看不出一个人的学识和财富,因为这些不是从根本上区分人和人的因素.所以买车票机票时出示身份证就可以了,而不需要拿出毕业证书或者财产证明.
抽象可以使事物更简单是确实的.举例来说,如果我们想知道人造卫星绕地球一圈需要多久,只需要知道一些关于人造卫星的参数,如轨道参数等等…我们还可以用物理方法证明飞行周期和质量无关,这意味着所有在一条轨道上飞行的人造卫星都会用同样的时间绕地球一圈.在这里,我们把一个客观实在的人造卫星抽象成了物理上的若干数据,而且很明显这些数据的采集就变成了有目的而不是盲目的,算出的结论不仅适用于一个人造卫星,还适用于其他人造卫星,甚至适用于绕地球的月球和绕太阳的地球.
但这样的抽象可能会存在一些问题,比如我们如果把自由落体的物体抽象为质点而忽略形状,或者忽略空气阻力…以上的种种就可能使得演算结果和客观实际存在一定的误差.让那些不辞辛劳的科学家和工程师解决什么时候可以忽略误差的问题吧,因为好在在抽象代数中我们并不需要担心这个问题.
集合
现在我们不加详细定义地介绍集合和元素,元素就是”某种东西”的抽象,集合就是”确定的一些东西所构成的整体”的抽象.集合的定义已经建立在严谨的公理集合论之上,可以说集合就是一个被定义出来的数学观念,和我们脑中的集合可以大致等同,但不能不假思索地画上等号,因为其会导致逻辑上的悖论,最著名的就是罗素悖论.
- 用大写字母$A,B,C\cdots$表示集合,小写字母$a,b,c\cdots$表示元素,元素$a$属于集合$A$记作$a\in A$,元素$a$不属于集合$A$记作$a\notin A$.
- 如果集合$A$和集合$B$所包含的元素完全一致,那么两集合相等,记作$A=B$,这被称为外延公理.
- 存在没有元素的集合,也就是空集$\emptyset$,这被称为空集存在公理.
- 如果有两个元素$a,b$,那么我们可以给出一个无序对$\lbrace a,b\rbrace $,事实上可以用集合表示这个无序对,换句话说无序对就是一个集合,这被称为配对公理.
- 如果有两个集合$A$和$B$,存在它们的并集,包含$A$和$B$二者全部的元素,记作$A\cup B$,这被称为并集公理.
- 如果有两个集合$A$和$B$,存在它们的交集,包含$A$和$B$二者所共有元素,记作$A\cap B$.
- 如果集合$A$包含集合$B$的部分元素,那么$A$是B的子集,记作$A\subset B$.
- 集合也是”某种东西”,所以集合也可以属于另一个集合,例如集合$A=\lbrace a,b\rbrace $有四个子集$\lbrace \rbrace ,\lbrace a\rbrace ,\lbrace b\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace $,这四个集合也可以构成一个集合$P(A)=\lbrace \lbrace \rbrace ,\lbrace a\rbrace ,\lbrace b\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace $,称为$A$的幂集,这被称为幂集公理.
- 存在归纳集.归纳集有无穷多个元素,这被称为无穷公理.我们常说的数学归纳法就依赖于归纳集,例如如果一个集合包含$0$,如果包含元素$n$的话就会包含$n+1$,那么可以预想到这个集合大概长这样:$\lbrace 0,1,2,\cdots\rbrace $,无穷公理承认这是一个集合,当然,这就是大家熟悉的自然数集$\mathbb{N}$.同理,空集$\emptyset$是一个集合,$\lbrace \emptyset\rbrace $也是一个集合,以此类推可以得到$\lbrace \emptyset,\lbrace \emptyset\rbrace \rbrace $,$\lbrace \emptyset,\lbrace \emptyset\rbrace ,\lbrace \lbrace \emptyset\rbrace \rbrace \rbrace $等等,无穷公理说上述提到的所有集合,一直到无穷,可以构成一个集合,这个集合大概是这个样子$\lbrace \emptyset,\lbrace \emptyset\rbrace ,\lbrace \emptyset,\lbrace \emptyset\rbrace \rbrace ,\cdots\rbrace $.事实上,在皮亚诺(Peano)公理中,自然数就是这样被定义出来的.
- 集合中元素个数若有限,则称集合为有限集,否则为无限集.元素的个数可以被严谨地定义为集合的基数,集合$A$的基数记作$\mathbf{Card}(A)$.
- 如果有集合$A$和一个描述$f(x)$,我们就可以给出符合描述的$A$的子集,记作$\lbrace x\in A:f(x)\rbrace $,这被称为选择公理模式.例如如果将全体人类记作集合$A$,我们可以做出全体男人的集合,只需要一个判断$f(x)$,其中$x$代表一个人,当其为男人时$f(x)$给出真,反之给出假.那么全体男人就可表示为$\lbrace x\in A:f(x)\rbrace $.选择公理模式限制了集合的描述方式,也就是选择公理在使用前必须有一个先在的集合,这也就避免了罗素悖论:包含一切不属于本集合的元素的集合.换句话说选择模式公理不承认$\lbrace x:f(x)\rbrace $,如果你见到这样的写法只是因为我们默认了某个$A$.如果存在”一切事物的集合$A$”,那么$\lbrace x\in A:f(x)\rbrace $就和$\lbrace x:f(x)\rbrace $等同了,所以选择模式公理也意味着不存在”一切集合的集合”.
映射
映射和集合一样是非常基础的概念,可以理解为,若有非空集合$A$和$B$,映射指定$A$到$B$的对应关系$\varphi:A\rightarrow B$,$\forall a\in A,\exists!b\in B,\varphi(a)=b$,换句话说,判断映射只需要以下两个条件
- $\forall a\in A,\varphi(a)\in B$
- 若$\varphi(a)\neq\varphi(b)$,则$a\neq b$
在这里,$A$称为定义域,$B$称为陪域,$b$称为$a$的像,$a$称为$b$的一个原像.由于映射不保证将不同的元素映射为不同的像,所以满足$\varphi(a)=b,a\in A$的元素可能有多个,在这里它们构成一个集合,称为$b$的原像集,记作$\varphi^{-1}(b)$.
$A$中全体元素在$\varphi$之下的全体像构成的集合称为$\varphi$的值域,记作$\mathbf{Im}(\varphi)$或$\varphi(A)$.
事实上,映射其实是指定了一个有序对,如$\varphi(a)=b$就可以表示为$(a,b)$.但集合都是无序的,如何表示有序对呢?库拉托夫斯基(Kuratowski)定义$(a,b)$是一个集合,表示$\lbrace \lbrace a\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace $,其中单元素的集合中的元素被称为有序对的”第一个元素”,另一个元素被称为”第二个元素”.
可以定义集合$A$和$B$的所有有序对的集合$\lbrace (a,b)|\forall a\in A,\forall b\in B\rbrace $,记作$A\times B$,这种定义方式被称为笛卡尔积(Cartesian product),显然若$A$和$B$都是有限集,且$\mathbf{Card}(A)=m,\mathbf{Card}(B)=n$,则$\mathbf{Card}(A\times B)=mn$.
所谓映射就是笛卡尔积的子集,换句话说,映射是一个集合,里面的元素是有序对.例如有$A=\lbrace 1,2,3\rbrace ,B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}$而$\varphi(x)=2x$作为一个映射,所表示的就是$\lbrace (1,2),(2,4),(3,6)\rbrace $.
但并不是所有有序对都是可以被包括在一个映射之中,如若有$b=\varphi(a)$,就不能再有$b’=\varphi(a)$,又让$b\neq b’$.也就是$(a,b)$和$(a,b’)$不能被一个映射包含.所以若$\mathbf{Card}(A)=m,\mathbf{Card}(B)=n$,那么$\mathbf{Card}(P(A\times B))=2^{mn}$,但$A$到$B$的映射只有$m^n$种.如果用$\mathscr{A}$表示$A$到$B$全部映射所成之集,就有$\mathbf{Card}(\mathscr{A})=m^n$.
数是集合,无序对是集合,有序对是集合,映射也是集合.希望读者可以领略到”万物皆集合”这句名言.
有以下几类特殊的映射:单射将不同的原像映射为不同的像,满射保证陪域内所有的元素都有原像,而一个映射如果即使单射有时满射则称为双射(一一映射).用数学语言来说:
- $\varphi:A\rightarrow B$为单射$\Leftrightarrow$$\forall a,b\in A$,若$a\neq b$,则$\varphi(a)\neq\varphi(b)$.
- $\varphi:A\rightarrow B$为满射$\Leftrightarrow$$\forall b\in B$,$\exists a\in A,\varphi(a)=b$.
一一映射其实是一个很好的工具,如果两个集合间存在一一映射,那么两个集合的基数一定相同,反之,如果两个集合的基数相同,那么两个集合之间一定存在一一映射.换言之,如果我们遇到了一个未知的集合,这个集合可能是十分具体以至于难以下手,但其可以同另一个我们所熟悉的集合建立一一映射,那事情就简单了,我们完全可以将熟悉的集合中的理论照搬入陌生的集合.而我们最熟悉的集合一定是数集,那么或多或少的事物集合就可以被一一映射到某个数集上去.如果仅从这一点上看,集合是非常简单的,只要我们能将数集研究透彻,就相当于研究了宇宙间的一切集合.
举例来说,假设一个班有48个人,老师希望将其等分为6个小组,同时不希望有余下的人.这是可以做到的,因为我们可以将一个班上所有的人通过一个双射映射到一个基数为48的集合上去,而数学告诉我们6整除于48,所以这个48个的集合可以被分为6类,每类8个元素.再将这一结论翻译回老师分小组的例子,就可以说明这是可以做到的.不仅如此,宇宙中任意48个事物构成的集合想要等分6份都是可行的,我们在数集上的研究可以一劳永逸地解决宇宙间所有集合的问题,这就是抽象的意义所在.
双射说明了两个集合的等价性,那么满射强调的是一种包容性,例如如果将世界上所有人构成一个集合$A$,所有国家构成一个集合$B$,那么可以定义一个满射$\varphi:A\rightarrow B$,表示将人向自己的国籍映射.我们可以知道所有国家都会有人,不存在没有人的国家.同时我们可以认为满射将保存一些重要的性质,例如如果所有中国人都是爱好和平的,我们就可以定义中国是一个爱好和平的国家,这对定义集合之上更复杂的结构很有意义.
关系
我们常常说某些事物具有某些关系,例如亲子关系,情侣关系等等,这样的说法比较模糊,我们希望对其进行严谨的描述.
例如假设有集合$A=${小明,小明的父亲,小明的母亲,小明的哥哥,老王},我们就可以定义一个亲子关系$R$,其接受两个人,给出是否为亲子,如”小明$R$小明的父亲”.这其实就相当于一个有序对(小明,小明的父亲),所以,再一次地,我们认为关系是一个集合,其是笛卡尔积的子集,在这里,$R=${(小明,小明的父亲),(小明,小明的母亲),(小明的哥哥,小明的父亲),(小明的哥哥,小明的母亲),(小明的父亲,小明),(小明的母亲,小明),(小明的父亲,小明的哥哥),(小明的母亲,小明的哥哥)},在这里(小明,老王)不在$R$的集合中,所以认为小明和老王没有亲子关系.
在这里,这个关系定义在$A\times A$上,我们可以直接说这个关系定义在$A$上.但更一般的,关系也可以定义在$A\times B$上,只要其是笛卡尔积所构成的集合即可.
亲子关系其实是一个互相的关系,即如果$aRb$,那么一定有$bRa$,这被称为对称性.但是并非所有关系都具有对称性,举例来说$R’=${(小明,小明的父亲),(小明的哥哥,小明的父亲)}就指定了”父亲关系”,你可以说”从小明到小明的父亲是一个父亲关系”,但不能说”从小明的父亲到小明是一个父亲关系”.但具有对称性的关系就可以互相说明”从小明到小明的父亲是一个亲子关系”以及”从小明的父亲到小明是一个亲子关系”,这种时候就可以直接说”小明和小明的父亲是一个亲子关系”,在语言上也是有这样的区别的.
另一个重要的性质是”自反性”,即$aRa$,亲子关系和父亲关系都没有这样的性质,一个满足自反性的关系是”老乡关系”,如果小明一家来自北京,老王来自冥王星,那么就可以说”小明和自己是老乡”,”老王和自己是老乡”,虽然听起来怪怪的,但其确实正确的,但”小明是自己的父亲”就完全错误了.
“老乡关系”还具有传递性,即若$aRb,bRc$,则$aRc$.传递性可以这样理解:老乡的老乡还是老乡.
一个同时具有自反性,对称性,传递性的关系被称为等价关系,等价关系常用”~”表示.老乡关系就是等价关系.这里总结等价关系的判定如下:
设$\sim$为$A$的一个关系,称$\sim$为等价关系,如果:
- 自反性:$\forall a\in A,(a,a)\in R$
- 对称性:$\forall a,b\in A,(a,b)\in R\Rightarrow(b,a)\in R$
- 传递性:$\forall a,b,c\in A,(a,b)\in R,(b,c)\in R\Rightarrow(a,c)\in R$
只要一个关系是等价关系,其就可以对原集合产生一个划分.如记$A=${地球上所有人},”国籍关系$\sim$”指出两个人具有相同的国籍,有”习大大$R$毛爷爷”,因为他们两个都是中国人.那么所有中国人可以构成$A$的一个子集,在这个子集中,任何两个人都具有”国籍关系”,于是就可以把这个集合称为”中国人集合”,而于此类似地也可以定义”美国人集合”,”英国人集合”等等.
所有的这些集合又可以构成一个集合,称为”国家人口集合”,又由于每个国家的人都可以代表他的国家,所以我们可以从每个国家中取一个代表元,记作$[x]$,那么这个集合大概长这样:{[习大大],[川建国],[普京大帝],$\cdots$},这个集合被称为$A$在等价关系$~$的商集,记作$A/\sim$.直观上理解,就是用地球上所有人,对地球上所有国家做了除法.
注意,此时如果我们定义$B=${所有国家},那么就会存在从$A/\sim$到$B$的一一映射,这是不难理解的.
举一个数学上的例子,如果我们有整数集$\mathbb{Z}$,以及正整数$n$,而定义等价关系$a\sim b$有$a-b=kn,k\in \mathbb{Z}$,即$a,b$除以$n$得到的余数相同,此时称$a,b$模$n$同余.请读者自行证明$\sim$是一个等价关系.
这个等价关系将整数集划分成了若干个等价类,如$\lbrace \cdots,-n,0,n,\cdots\rbrace $或$\lbrace \cdots,-n+1,1,n+1,\cdots\rbrace $等等,所有这些集合可以构成商集$\mathbb{Z}/\sim=\lbrace [0],[1],\cdots,[n-1]\rbrace $,这被称为模$n$剩余类集,记作$\mathbb{Z}_n$,其与$\lbrace 0,1,\cdots,n-1\rbrace $存在双射.
运算
仅研究集合其实是比较无聊的,我们希望通过映射来建立集合和集合的关系,
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