矩阵论
线性空间与线性映射
给定非空集合$V$和域$F$
定义加法$\sigma:V\times V\rightarrow V,(v_1,v_2)\mapsto\sigma(v_1,v_2)$.
- 加法满足交换律,即$a+b=b+a,\forall a,b\in V$
- 加法满足结合律,即$(a+b)+c=a+(b+c),\forall a,b,c\in V$
- $\exists e\in V,e+v=v,\forall v\in V$
- $\forall a\in V,\exists -a,-a+a=e$
- 数乘分配律,$(v_1+v_2)k=v_1k+v_2k,v(k_1+k_2)=vk_1+vk_2$
- $v(kl)=(vk)l$
- $v\cdot 1=v$
由此构成线性空间.
称向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性无关,如果存在不全为0的系数$k_1,k_2,\cdots,k_n\in K$,满足$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n=0$.
称向量$\beta$可由向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表示,如果$\exists k_1,k_2,\cdots k_n\in K,\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n$,即$$\begin{bmatrix}\alpha_1\quad\alpha_2\quad\cdots\quad\alpha_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{bmatrix}=\beta$$
称某一子组为向量组的极大线性无关组,如果该子组线性无关,且任何真包含该子组的子组线性相关.
定理:向量组的任意极大线性无关组中的向量个数相同,称为秩.
若有集合$V$和数域$F$,$V$中任意向量都可以由极大无关组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$线性表示,则称$V$为$n$维线性空间,极大无关组为一组基,表示系数$k_1,k_2,\cdots k_n$称为坐标.$V$中的任意向量都与$K^n$中的坐标一一对应.
若$V$是线性空间,$W$为$V$的非空子集,若$W$也为线性空间,称为$V$的子空间.只需保证$W$对加法和乘法封闭.
对向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$,记$\mathbf{span}(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)={\beta|\beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_n\alpha_n,k_1,k_2,\cdots k_n\in K}$,称为向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$张成的子空间.
对$A\in F^{m\times n}$,称{$x|Ax=0,x\in F^n$}为$A$的核,记作$\mathbf{Ker}(A)$,${Ax|x\in F^n}$为$A$的像集,记作$\mathbf{Im}(A)$.
若$U,W$是$V$的子空间,则$U\cap W$也为子空间,称为$U,W$的交.
若$U,W$是$V$的子空间,则$U+V=\mathbf{span}(U,W)={u+w|u\in U,w\in W}$称为$U,W$的和.
若有线性空间$V_1,V_2$,若有映射$\varphi:V_1\rightarrow V_2$,满足$\varphi(v_1+v_2)=\varphi(v_1)+\varphi(v_2)$及$\varphi(kv)=k\varphi(v)$,则称$\varphi$为线性映射.若$\varphi$为可逆映射,则称$\varphi$为同构映射.
设$\mathscr{A}$表示$F^m$到$F^n$之间的全部线性映射,则$\mathscr{A}$与$F^{m\times n}$同构.
称$A,B\in F^{m\times n}$等价,如果存在可逆矩阵$P\in F^{n\times n},Q\in F^{m\times m}$,使得$A=PBQ$.
任何矩阵$A\in F^{m\times n}$总和如下的矩阵等价,其中$r$是$A$的秩.
$$\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}$$
称$A,B\in F^{n\times n}$相似,如果存在可逆矩阵$P\in F^{n\times n}$,使得$P^{-1}AP=B$.
$A\in F^{n\times n}$,子空间$W\subseteq F^{n}$,如果$A(W)\subseteq W$,称$W$是$A$的不变子空间.
$A,B\in F^{n\times n}$相似,$AP=PB$,$P=\begin{bmatrix}P_1&P_2\end{bmatrix}$,$B=\begin{bmatrix}B_{11}&B_{12}\\B_{21}&B_{22}\end{bmatrix}$,则:
- $B_{21}=0\Leftrightarrow \mathbf{Im}P_1$是$A$的不变子空间
- $B_{12}=0\Leftrightarrow \mathbf{Im}P_2$是$A$的不变子空间
$A$相似与对角矩阵$\Leftrightarrow$对$P$的每个列向量$p_j$,$\mathbf{Im}p_j$是$A$的不变子空间,即$A$有$n$个线性无关的特征向量.
称$v\neq0\in F^n$是$A\in F^{n\times n}$的特征向量,如果$\exists\lambda\in K,Av=\lambda v$,$\lambda$为相应于$v$的特征值,$\mathbf{Im}v$称为特征子空间.
$\lambda$矩阵与Jordan标准型
以多项式为元素的矩阵称为$\lambda$矩阵.
$\lambda$矩阵的秩定义为不为零多项式的子式的最大阶数.$\lambda$矩阵的秩大于等于将$\lambda$取一定数时矩阵的秩.
称$A(\lambda)\in F^{n\times n}(\lambda)$为幺模矩阵,如果$A(\lambda)$的逆矩阵也是$\lambda$矩阵.$A(\lambda)$是幺模矩阵当且仅当$A(\lambda)$的模是非零常数多项式.
$A(\lambda)\in F^{m\times n}(\lambda)$的所有$k$阶子式的最高公因式称为$k$阶行列式因子$D_k(\lambda)$.初等行变换不改变行列式因子.
在初等行变换下,$\lambda$矩阵等价于它的Smith标准型,即$A(\lambda)\sim\begin{bmatrix}\varDelta(\lambda) & O \\ O & O \end{bmatrix}$,其中$\varDelta(\lambda)=\begin{bmatrix}d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_r(\lambda)\end{bmatrix}$,$r$为$A(\lambda)$的秩,$d_i(\lambda)$称为不变因子,且有:$$d_1(\lambda)=D_1(\lambda)$$$$d_i(\lambda)=D_i(\lambda)/D_{i-1}(\lambda)$$
单位模阵的Smith型为单位矩阵,对$\lambda$作初等行变化相当于乘单位模阵.
给定$A\in F^{n\times n}$,称多项式矩阵$\lambda I-A$为$A$的特征矩阵.
特征矩阵的秩为$n$,Smith标准型为$\begin{bmatrix}d_1(\lambda) & & \\ & \ddots & \\ & & d_n(\lambda)\end{bmatrix}$,且$D_n(\lambda)=|\lambda I-A|$,不变因子的次数和为$n$.
这个Smith标准型也可以写为$\begin{bmatrix}H_1(\lambda)& &\&\ddots&\& &H_p(\lambda)\end{bmatrix}$,其中$H_i(\lambda)=\begin{bmatrix}1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & 1 & \\ & & & h_{n_i}(\lambda)\end{bmatrix}$,$h_{n_i}$的次数为$n_i$.
将不变因子$h_i(\lambda)$在$F[\lambda]$中作质因式分解时得到的各次方幂称为初等因子组.初等因子组和不变因子互相唯一确定.
矩阵相似,当且仅当特征矩阵等价,当且仅当特征矩阵有相同的Smith型,当且仅当特征矩阵有相同的不变因子,当且仅当特征矩阵有相同的行列式因子,当且仅当特征矩阵有相同的初等因子组.
article_txt