复变函数
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- 全纯函数的积分表示:柯西积分理论
- 全纯函数的幂级数展开:维尔斯特拉斯级数理论
- 单连通区域间的双全纯映射:黎曼集合理论
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复数与复变函数
复数的定义
域是在集合$F$上定义的代数结构,在其上定义了加法和乘法,如果:
- $F$上加法构成交换群；
- $F-\lbrace0\rbrace$上乘法构成交换群;
- $F$中加法和乘法满足分配律,即$a(b+c)=ab+ac,\forall a,b,c\in F$.
在$\mathbb{R}^2$中,定义
- $(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$;
- $(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
可以得到一个域,称为复数域,记作$\mathbb{C}$.
$\lbrace (a,0)|a\in\mathbb{R}\rbrace$作为$\mathbb{C}$的子域与$\mathbb{R}$同构.将$(0,1)$记为$i$,$(a,b)$记为$a+bi$.
- $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$
- $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$
- $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$
- $\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i$
复数域不是有序域.
设$z=a+bi$
- $\bar{z}=a-bi$
- $|z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\bar{z}}$
- $\mathrm{Re}z=a=\dfrac12(z+\bar{Z})$
- $\mathrm{Im}z=b=\dfrac12(z-\bar{Z})$
设$z,w$是复数
- $\overline{z\pm w}=\bar{z}\pm\bar{w}$
- $\overline{zw}=\bar{z}\bar{w}$
- $\overline{\dfrac{z}{w}}=\dfrac{\bar{z}}{\bar{w}}$
- $|z|=|\bar{z}|$
- $|zw|=|z||w|$
- $|\dfrac{z}{w}|=\dfrac{|z|}{|w|}$
- $|z\pm w|^2=|z|^2\pm2\mathrm{Re}(z\bar{w})+|w|^2$
- $|z+w|\le|z|+|w|$
- $|z-w|\ge||z|-|w||$
复数的几何表示
$z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$
其中:
- $r=|z|$
- $\theta=\mathrm{Arg}z$
- $\mathrm{Arg}z=\mathrm{arg}z+2k\pi,k\in\mathbb{Z},-\pi<\mathrm{arg}z\le\pi$.
0的辐角没有意义.
$z_1z_2=r_1r_2(\cos(\theta_1+\theta_2)+i\sin(\theta_1+\theta_2))=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}$
$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{r_1}{r_2}(\cos(\theta_1-\theta_2)+i\sin(\theta_1-\theta_2))=\dfrac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}$
从而
- $|z_1z_2|=|z_1||z_2|$
- $\mathrm{Arg}(z_1z_2)=\mathrm{Arg}z_1+\mathrm{Arg}z_2$
- $|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$
- $\mathrm{Arg}(\dfrac{z_1}{z_2})=\mathrm{Arg}z_1-\mathrm{Arg}z_2$
- $\mathrm{Arg}\bar{z}=-\mathrm{Arg}z$
若$z_1$与$z_2$平行,充分必要条件是$\mathrm{Im}(z_1\bar{z_2})=0$
若$z_1$与$z_2$垂直,充分必要条件是$\mathrm{Re}(z_1\bar{z_2})=0$
$|\dfrac{z-z_1}{z-z_2}|=\lambda,z_1\neq z_2,0\le\lambda\neq1$被称为Apollonius圆,圆心为$\dfrac{z_1-\lambda^2z_2}{1-\lambda^2}$,半径为$\dfrac{\lambda|z_1-z_2|}{|1-\lambda^2|}$
扩充复平面
在$\mathbb{C}$中用$\infty$一点紧化,规定
- $z\pm\infty=\infty(z\neq\infty)$
- $z\cdot\infty(z\neq0)$
- $\dfrac{z}{\infty}=0(z\neq\infty)$
- $\dfrac{z}{0}=\infty(z\neq0)$
记作$\mathbb{C}_\infty$,称为扩充复平面.
复平面上一点与单位球的北极$(0,0,1)$相连,与单位球的交点称为复数的球面表示,而$\infty$与北极对应.
$z=\dfrac{x_1+ix_2}{1-x_3}$
$\begin{dcases}x_1=\dfrac{z+\bar{z}}{1+|z|^2}, \\ x_2=\dfrac{z-\bar{z}}{i(1+|z|^2)}, \\ x_3=\dfrac{|z|^2-1}{|z|^2+1}\end{dcases}$
复平面上的拓扑
复数列$\lbrace z_n\rbrace$收敛到$z_0$,是指对$\forall\varepsilon>0$,存在$N>0$,当$n>N$,$|z_n-z_0|<\varepsilon$.
复数域是完备的,$\lbrace z_n\rbrace$收敛当且仅当$\lbrace z_n\rbrace$是Cauchy列.
如果$E$的所有点都是它的内点,则称为开集,开集的余集是闭集.
一个集合的任意开覆盖都有有限子覆盖,则称这个集合为紧集.复数域上的紧集当且仅当它是有界闭集.
如果$E$中的点$a$的任意邻域总有$a$以外的点,则称$a$是$E$的聚点,聚点构成的集合是导集,记作$E’$.$E$中不属于$E’$的点称为$E$的孤立点.导集和其本身的并称为闭包,记作$\bar{E}$.闭包一定是闭集,且是包含$E$的最小的闭集.
$E$的内部是$E$的内点之集合,记作$E^o$,内部是含于$E$的最大的开集.$E$的外部是外点的集合,外部是$E$余集的内部.除了内部和外部外的点是$E$的边界,记作$\partial E$.边界是闭集.
曲线是指连续映射$f:I\rightarrow\mathbb{C}$,简单曲线是单值的曲线,又称作Jordan曲线.起点和终点相同的曲线称为简单闭曲线.可求长的曲线称为可求长曲线.
如果集合$E$被分为彼此不交的两个子集,但子集总包含另一个子集的聚点,则称$E$是连通的.复平面的连通集当且仅当它是道路连通的.
连通的开集称为区域.如果一个开集是连通的,当且仅当其不能分为两个非空不交开集之并.
如果$E$的任意简单闭曲线都可以连续地收缩至$E$的一点,则称$E$是单连通的.
Cantor闭集套定理若非空闭集序列$\lbrace F_n\rbrace$有$F_1\supset F_2\supset\cdots\supset F_n\supset\cdots$,且$\mathrm{diam}F_n\rightarrow0(n\rightarrow\infty)$,那么$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}F_n$是一个单点集.
Heine-Borel有限覆盖定理在$\mathbb{C}$中,紧集当且仅当是有界闭集;在$\mathbb{C}_\infty$中,紧集当且仅当是闭集.
Bolzano-Weierstrass列紧性定理任意无穷点列必有收敛子列.
Jordan平面划分定理复平面上的简单闭曲线把整个闭曲面划分成三个部分:曲线部分,有界单连通区域,无界非单连通区域.
设$E$是紧集,$F$是闭集,且$E\cap F=\varnothing$,则$d(E,F)>0$.
复变函数的极限和连续性
复变函数是指$E\subset \mathbb{C}$到$\mathbb{C}$的映射.一个复变函数等价于两个二元实变函数.
$w=f(z)=f(x,y)=f(z,\bar{z})$.
所以复变函数可以视作$z$和$\bar{z}$的函数.
全纯函数
复变函数的导数
设$f:D\rightarrow\mathbb{C}$,如果极限$\lim\limits_{z\rightarrow z_0}\dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}$存在,就说$f$在$z_0$处可导,记作$f’(z_0)$.$f$在$D$中每个点都可导,称$f$是$D$上的全纯函数.如果$f$在$z_0$的一个邻域中全纯,则称$f$在$z_0$处全纯.
$f$在$z_0$处可导当且仅当$f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=f’(z_0)\Delta z+o(|\Delta z|)$,即$f$在$z_0$处复可微.
若$f$在$z_0$处可导,则必在$z_0$处连续.
$f(z)=\bar{z}$在$\mathbb{C}$中处处不可导,但处处连续.
$f(Z)=\mathrm{arg}z$在$\mathbb{C}-\lbrace0\rbrace$中处处不可导.
复变函数求导的四则运算,链式法则,反函数求导法与实变函数相同.全纯函数的和,差,积,商,复合,反函数都是全纯函数.
设$f$在$z_0$处可导,且$f’(z_0)\neq0$,则$$f(z_0+w)=f(z_0)+f’(z_0)w+o(|w|),w\rightarrow0$$,即$f$将$z_0$的邻域同向相似地映到$f(z_0)$的领域上,相似变换的伸缩率为$|f’(z_0)|$,转角为$\mathrm{arg}f’(z_0)$.
从而,全纯函数在其导数不为零的点处时保角的.
Cauchy-Riemann方程
设$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$是$D$上的函数,$z_0=x_0+iy_0$,称$f$在$z_0$处实可微,是指$u$和$v$作为$x,y$的二元函数在$(x_0,y_0)$处可微,$\mathrm{d}f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\mathrm{d}x+\dfrac{\partial f}{\partial y}\mathrm{d}y$为$f$的微分.
记$\dfrac{\partial}{\partial z}=\dfrac12(\dfrac{\partial}{\partial x}-i\dfrac{\partial}{\partial y})$,$\dfrac{\partial}{\partial\bar{z}}=\dfrac12(\dfrac{\partial}{\partial x}+i\dfrac{\partial}{\partial y})$,$\Delta z=\Delta x+i\Delta y$,$\overline{\Delta z}=\Delta x-i\Delta y$,则$f$在$z_0$处实可微,等价于
$$f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=\dfrac{\partial f}{\partial z}(z_0)\Delta z+\dfrac{\partial f}{\partial\bar{z}}(z_0)\overline{\Delta z}+o(|\Delta z|),(\Delta z\rightarrow0)$$
此时$\mathrm{d}f=\dfrac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z+\dfrac{\partial f}{\partial \bar{z}}\overline{\mathrm{d}z}$.即如果把复变函数视为$z,\bar{z}$的函数,其微分的形式与实变函数一样.
事实上由于$\begin{dcases}x=\dfrac{z+\bar{z}}{2} \\ y=-i\dfrac{z-\bar{z}}{2}\end{dcases}$$\begin{dcases}\dfrac{\partial f}{\partial z}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial z}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial z}=\dfrac12(\dfrac{\partial}{\partial x}-i\dfrac{\partial}{\partial y}) \\ \dfrac{\partial f}{\partial\bar{z}}=\dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{\partial x}{\partial\bar{z}}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{\partial y}{\partial\bar{z}}=\dfrac12(\dfrac{\partial}{\partial x}+i\dfrac{\partial}{\partial y})\end{dcases}$
设$f$是定义在域$D$上的函数,$z_0\in D$,那么$f$在$z_0$处可微的充要条件是$f$在$z_0$处实可微,且$\dfrac{\partial f}{\partial\bar{z}}(z_0)=0$.可微时,$f’(z_0)=\dfrac{\partial f}{\partial z}(z_0)$.
而这只要对比$$f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=\dfrac{\partial f}{\partial z}(z_0)\Delta z+\dfrac{\partial f}{\partial\bar{z}}(z_0)\overline{\Delta z}+o(|\Delta z|)$$和$$f(z_0+\Delta z)-f(z_0)=f’(z_0)\Delta z+o(|\Delta z|)$$即可.
设$f=u+iv$,称$\dfrac{\partial f}{\partial\bar{z}}$为Cauchy-Riemann方程,其等价于$\begin{dcases} \dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}\\ \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} \end{dcases}$
设$f=u+iv$是定义在域$D$上的函数,$z_0=x_0+iy_0\in D$,那么$f$在$z_0$处可微的充要条件是$u(x,y),v(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可微,且在$(x_0,y_0)$处满足上式.此时有$f’(z_0)=\dfrac{\partial u}{\partial x}+i\dfrac{\partial v}{\partial x}$.
所以一个函数是全纯函数,直观上理解就是$f$与$\bar{z}$无关.
设$D$为域,$H(D)$表示全纯函数全体,$C(D)$连续函数的全体,$C^k(D)$表示所有$k$阶偏导连续的函数全体,$C^{\infty}(D)$表示任意阶偏导连续的函数全体.
$$H(D)\subset C^{\infty}(D)\subset C^k(D)\subset C(D)$$
设$u$是$D$上的实值函数,若$u\in C^2(D)$,且对任意$z\in D$,有$\Delta u(z)=\dfrac{\partial^2u(z)}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2u(z)}{\partial y^2}=\dfrac{\partial^2u(z)}{\partial z\partial\bar{z}}=0$,则称$u$是$D$上的调和函数,其中$\Delta=\dfrac{\partial^2}{\partial x^2}+\dfrac{\partial^2}{\partial y^2}$为Laplace算子.
设全纯函数$f=u+iv$,那么$u$和$v$都是调和函数.通常称$v$是$u$的共轭调和函数.
设$u$是单连通域$D$的调和函数,则必存在$u$的共轭调和函数$v$,使得$u+iv$是$D$上的全纯函数.
初等全纯函数
初等全纯函数是由指数函数和常数函数经过有限次四则运算,复合,求反函数得到的函数.
指数函数
对实变函数,有
- $e^t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{t^n}{n!}$
- $\cos t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{t^{2n}}{(2n)!}$
- $\sin t=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}$
从而$e^{iy}=\cos y+i\sin y$.
设$z=x+iy$,定义$e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$.
- $e^x$是$\mathbb{C}$上的全纯函数,而且$(e^x)’=e^x$.
- $e^z\neq0$.
- $e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}$.
- $e^z$是周期为$2\pi i$的周期函数.
- $e^x$将$y=y_0$一一映成$\mathrm{Arg}w=y_0,r\neq0$.
- $e^x$将开线段$(z_0,z_0+i2\pi)$一一映成圆周$\partial B(0,e^x_0)-\lbrace e^{z_0}\rbrace$.
设$\forall z_1\neq z_2\in D$,若有$f(z_1)\neq f(z_2)$,则称$f$在$D$中单叶,$D$称为$f$的单叶性域
$e^x$的单叶性域是平行于实轴,宽度为$2\pi$的带状域.一般来说,$e^x$把带状域$\lbrace z=x+iy:\alpha<y<\beta,0<\alpha<\beta\le 2\pi\rbrace$变为角状域$\alpha<\mathrm{arg}w<\beta$.
对数函数
若$e^w=z$,则记$w=\mathrm{Log}z$,有$\mathrm{Log}z=\mathrm{log}|z|+i\mathrm{Arg}z$.
$(\mathrm{log}|z|+i\mathrm{Arg}z)’=\dfrac{1}{z}$
设$D$是不包含原点和无穷远点的单连通域,则$D$上闭存在无穷多单值全纯函数$\varphi_k$,使得$e^{\varphi_k(z)}=z$且$\varphi’_k(z)=\dfrac{1}{z}$.每一个$\varphi_k$都称为$\mathrm{Log}z$在$D$上的全纯分支.
如果当$z$沿着$z_0$的充分小邻域中的任意简单闭曲线绕一圈时,多值函数的值就从一支变到另一支,那么称$z_0$为该多值函数的一个支点.对数函数的支点是$z=0$和$z=\infty$.
一般取$\mathbb{C}$去除负实轴或正实轴作为单连通域,此时会将角状域$\alpha<\mathrm{arg}z<\beta$映为带状域$\alpha<\mathrm{Im}w<\beta$.
幂函数
$w=z^\mu=|z|^{\mu}e^{i\mu\mathrm{Arg}z},(\mu>0)$是$\mathbb{C}-\lbrace0\rbrace$上的多值函数.当$\mu=n$是正整数时,为$\mathbb{C}$上的单值函数.
角状域$G=\lbrace z\in\mathbb{C},\alpha<\mathrm{Arg}z<\beta\rbrace(0<\beta-\alpha\le2\pi)$是单值区域.
$\lbrace z\in\mathbb{C}-\lbrace0\rbrace:\alpha<\mathrm{Arg}z<\beta,0<\beta-\alpha\le\mathrm{min}(2\pi,\dfrac{2\pi}{\mu})\rbrace$是$z^\mu$的单叶性域,像域为$\lbrace z\in\mathbb{C}-\lbrace0\rbrace:\mu\alpha<\mathrm{Arg}z<\mu\beta\rbrace$.
$(x^\mu)’=\dfrac{\mu}{z}z^\mu$
Rovovsky函数
$w=f(z)=\dfrac12(z+\dfrac{1}{z})$在$\mathbb{C}-\lbrace0\rbrace$上全纯,单叶性区域有$B(0,1)-\lbrace0\rbrace$,$B(\infty,1)$,上半平面$\mathbb{C}_+$,下半平面上半平面$\mathbb{C}_-$.像域分别为$f(B(0,1)-\lbrace0\rbrace)=f(B(\infty,1))=\mathbb{C}-[-1,1]$,$f(\mathbb{C}_+)=f(\mathbb{C}_-)=\mathbb{C}-(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$.
三角函数
$\cos z=\dfrac12(e^{iz}+e^{-iz})$
$\sin z=\dfrac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})$
都在整个$\mathbb{C}$上全纯.
- $\cos z$是偶函数,$\sin z$是奇函数
- $\cos z$和$\sin z$的周期是$2\pi$
- 所有三角恒等式都满足
- $(\cos z)’=\sin z$,$(\sin z)’=\cos z$
- 半带形区域$D=\lbrace z\in\mathbb{C}:0<\mathrm{Re}z<2\pi,\mathrm{Im}z>0$是$\cos z$的一个单叶性区域,像域为$\mathbb{C}-[-1,+\infty)$
- $\cos z=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y$
- $\sin z=\sin x\cosh y+i\cos x\sinh y$
- $\sin z$和$\cos z$是无界的.
- $\cos z$的零点集为$\lbrace\dfrac{\pi}{2}+k\pi:k\in\mathbb{Z}\rbrace$,$\cos z$的零点集为$\lbrace k\pi:k\in\mathbb{Z}\rbrace$
例子
将$D=\mathbb{C}_+-\lbrace a+bi:0<b\le h\rbrace$双全纯地映成上半平面.
首先令$z_1=z-a$,则$D_1=\mathbb{C}_+-\lbrace bi:0<b\le h\rbrace$.
再令$z_2=z_1^2$,则$D_2=\mathbb{C}-[-h^2,+\infty)$.
令$z_3=z_2+h^2$,则$D_3=\mathbb{C}-[0,+\infty)$.
令$w=\sqrt{z_3}$,则得到上半平面.
此时,$w=\sqrt{(z-a)^2+h^2}$
将$D=\lbrace z:0<\mathrm{Im}z<2\rbrace-\lbrace x+i:-\infty<x<-1\rbrace$双全纯地映成上半平面.
令$z_1=\pi z$,$D_1=\lbrace z:0<\mathrm{Im}z<2\pi\rbrace-\lbrace x+i\pi:-\infty<x<-\pi\rbrace$.
令$z_2=e^{z_1}$,$D_1=\mathbb{C}-[-e^{-\pi},+\infty)$.
令$w=\sqrt{z_2+e^{-\pi}}$,得到上半平面.
$w=\sqrt{z^2-1}=|z^2-1|^{\frac12}e^{i\frac12\mathrm{Arg}(z^2-1)}$,$w=\mathrm{Log}(z^2-1)=\log|z^2-1|+i\mathrm{Arg}(z^2-1)$都能在$D_1=\mathbb{C}-(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$上选出单值全纯分支.$w=\sqrt{z^2-1}$能在$D_2=\mathbb{C}-[-1,1]$上选出单值全纯分支,$w=\mathrm{Log}(z^2-1)$则不能.
设$\gamma$是$D_1$或$D_2$中的简单闭曲线,当$z$沿$\gamma$逆时针绕行一周时,$z^2-1=(z+1)(z-1)$有两个支点$-1$和$1$,辐角连续变化所产生的增量为$0$或$0$和$4\pi$.所以$w=\sqrt{z^2-1}$都能选出连续分支,但$w=\mathrm{Log}(z^2-1)$对于$4\pi$的增量不行.
分式线性变换
$\mathbb{C}_\infty$上的$w=T(z)=\dfrac{az+b}{cz+d}$,$ad\neq bc$,称为分式线性变换.分式线性变换的全体用$\mathrm{Aut}(\mathbb{C}_\infty)$表示.分式线性变换在复合下构成一个群.
考虑分式线性变换系数构成的方阵$\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}$,则分式线性变换的复合对应矩阵乘法,分式线性变换逆变换对应的矩阵的逆.
称$\mathbb{C}$中的直线或圆周为$\mathbb{C}_\infty$上的圆周.两点关于圆周$\partial B(a,r)$对称,如果$z_1-a,z_2-a$同向,且$|z_1-a||z_2-a|=r^2$.$a$与$\infty$对称.
$\mathbb{C}_\infty$定义交比,$z_1,z_2,z_3,z_4$至少有三个互不相同,则$(z_1,z_2,z_3,z_4)=\dfrac{z_1-z_3}{z_1-z_4}/\dfrac{z_2-z_3}{z_2-z_4}$
设$L$是$\mathbb{C}_\infty$圆周,$z_1,z_2\in\mathbb{C}$关于$L$对称,$z_1\neq z_2$.一定存在$\lambda>0$使得$L$用$|\dfrac{z-z_1}{z-z_2}|=\lambda$表示.反之,对任何$\mathbb{C}_\infty$中的圆周$|\dfrac{z-z_1}{z-z_2}|=\lambda$,$z_1,z_2$一定关于圆周对称.
设$L$是$\mathbb{C}_\infty$圆周,$z_1,z_2$关于$L$对称,$w=T(z)$是分式线性变换,则$T(L)$也是圆周,且$T(z_1),T(z_2)$关于$T(L)$对称.
交比是$\mathbb{C}_\infty^4$上的$\mathrm{Aut}(\mathbb{C}_\infty)$不变函数,即$(z_1,z_2,z_3,z_4)=(T(z_1),T(z_2),T(z_3),T(z_4))$.如果一个函数是$\mathrm{Aut}(\mathbb{C}_\infty)$不变函数,那么这个函数一定是交比的某个单变量函数的复合.
设$z_1,z_2,z_3$和$w_1,w_2,w_3$分别是圆周$L_1$和$L_2$上分别不相同的三个点,则存在唯一的分式线性变换$W=T(z)$,将$z_1,z_2,z_3$分别映成$w_1,w_2,w_3$,且把$L_1$的左侧和右侧映成$L_2$的左侧和右侧区域.这个分式线性变换满足$(T(z),w_1,w_2,w_3)=(z,z_1,z_2,z_3)$.
$z_1,z_2,z_3,z_4$四点共圆的条件是$\mathrm{Im}(z_1,z_2,z_3,z_4)=0$.
设$L$是$\mathbb{C}_\infty$中由$z_1,z_2,z_3$所确定的圆周,那么$w_1$和$w_2$关于$L$对称当且仅当$(w_1,z_1,z_2,z_3)=\overline{(w_2,z_1,z_2,z_3)}$.
把月牙形区域$D=\lbrace z:|z|>1,|z-1|<2\rbrace$双全纯地映为带状域$G=\lbrace w:0<\mathrm{Re}w<1\rbrace$.
考虑把实轴映为实轴,这就把两个圆周映为与实轴垂直的直线.$-1$映为$\infty$,$1$映为$0$,所以$w=\lambda\dfrac{z-1}{z+1}$,然后它把$3$映为$1$,所以得到$w=2\dfrac{z-1}{z+1}$
把上半平面映为单位圆的内部,且把$a$映为圆心.
$a$被映为$0$,$\bar a$被映为$\infty$,$0$映为单位圆周上的点,故$w=e^{i\theta}\dfrac{z-a}{z-\bar a}$.
把单位圆盘映为单位圆盘,把$a$映为圆心.
$a$被映为$0$,$\dfrac{1}{\bar a}$被映为$\infty$,因此$w=\lambda\dfrac{z-a}{z-\dfrac{1}{\bar a}}$.再把$1$映到单位圆上,有$w=-\lambda\bar a\dfrac{z-a}{1-\bar az}=e^{i\theta}\dfrac{z-a}{1-\bar az}$.可以证明这样的全纯映射只能是这种形式,称为单位圆盘的全纯自同构.
把偏心圆环$B(A,R)-\overline{B(a,r)}$双全纯地映为同心圆环.
尝试找到两个点$z_1,z_2$,既关于小圆周对称,又关于大圆周对称,用分式线性变换$\dfrac{z-z_1}{z-z_2}$分别映为$0$和$\infty$.
证明圆周$L$:$|\dfrac{z-z_1}{z-z_2}|=\lambda$与通过$z_1,z_2$的任意圆周正交.
考虑分式线性变换$T(z)=\dfrac{z-z_1}{z-z_2}$将$L$映为以原点为圆心的圆周,过$z_1,z_2$的圆周只有通过圆心的直线,故正交.
全纯函数的积分表示
复变函数的积分
有可求长曲线$\gamma(t)(a\le t\le b)$,$f$是定义在$\gamma$上的复变函数.作分割$\pi:t_0\cdots t_n$,$||\pi||=\max(t_i-t_{i-1})$,取分点$\xi_k\in[t_{k-1},t_k]$,求和$\sum\limits_{k=1}^nf(\gamma(\xi_k))(\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1}))$.如果不论分法与分点取法,只要$||\pi||\rightarrow0$,和式的极限总存在,那么就称$f$在$\gamma$上可积分,记为$$\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=\lim\limits_{||\pi||\rightarrow0}\sum\limits_{k=1}^nf(\gamma(\xi_k))(\gamma(t_k)-\gamma(t_{k-1}))$$
设$f=u+iv$在可求长曲线$\gamma$连续,则$f$在$\gamma$可积,并且$$\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=\int_\gamma u\mathrm{d}x-v\mathrm{d}y+i\int_\gamma v\mathrm{d}x+u\mathrm{d}y$$
若$\gamma(t)(a\le t\le b)$是(分段)光滑曲线,$f$是$\gamma$上的复变函数,则$$\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=\int_a^bf(\gamma(t))\gamma’(t)\mathrm{d}t$$
若$\gamma(t)(a\le t\le b)$是可求长曲线,定义在$\gamma$的邻域上的函数$F$在$\gamma$上可导,并且$F’$在$\gamma$上连续,则$$\int_\gamma F’(z)\mathrm{d}z=F(\gamma(b))-F(\gamma(a))$$
若$\gamma(t)(a\le t\le b)$是可求长曲线,$\int_\gamma z^n\mathrm{d}z=\dfrac{1}{n+1}(\gamma(b)^{n+1}-\gamma(a)^{n+1}),n\in\mathbb{N}$
圆周$B(a,r)$以逆时针为正向,$n\in\mathbb{N}$,$\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-a)^n}=\left{\begin{array}{ll}1, & n=1 \\ 0, & n\neq1 \end{array}\right.$
如果$\gamma$是可求长曲线,$f,g$是$\gamma$上的连续函数,那么
- $\int_{\gamma^-}f(z)\mathrm{d}z=-\int_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z$
- $\int_{\gamma}(\alpha f(z)+\beta g(z))\mathrm{d}z=\alpha\int_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z+\beta\int_{\gamma}g(z)\mathrm{d}z$
- $\int_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z=\int_{\gamma_1}f(z)\mathrm{d}z+\int_{\gamma_2}f(z)\mathrm{d}z$,其中$\gamma$由$\gamma_1$和$\gamma_2$拼成.
设$\gamma$的长度为$L$,$M=\sup\limits_{z\in\gamma}|f(z)|$,那么有长大不等式$|\int_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z|\le ML$.
Cauchy积分定理
区域上的连续函数$f$不一定有原函数,因为$f$必须为全纯函数,且$f$在任意可求长闭曲线上的积分必须为$0$.
Cauchy积分定理设$D$是单连通域,如果$f\in H(D)$,则对于$D$中任意可求长闭曲线$\gamma$,都有$$\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=0$$.
设$D$是可求长简单闭曲线的$\gamma$的内部,若$f\in H(D)\cap C(\bar D)$,则$\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=0$.
设$D$是有限条可求长简单闭曲线所围成的区域,$\gamma_1,\cdots\gamma_n$位于$\gamma_0$内部,$\gamma_1,\cdots\gamma_n$中的每一条都在其他$n-1$条的外部,用$\gamma$记$D$的边界,如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$,那么$\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=0$.
设$D$由两条简单闭曲线围成,$\gamma_1$在$\gamma_0$内部.如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$,那么$\int_{\gamma_0} f(z)\mathrm{d}z=\int_{\gamma_1} f(z)\mathrm{d}z$.
设$D$是由可求长简单闭曲线所围成的区域,计算$\int_\gamma\dfrac{\mathrm{d}z}{z-a},a\notin\gamma$.
$\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{\mathrm{d}z}{z-a}=\left{\begin{array}{ll}1, & a\in D \\ 0, & a\notin D \end{array}\right.$
设$D$是由可求长简单闭曲线所围成的区域,多项式$Q(z)$全部位于区域$D$中,其次数至少比$P(z)$高二阶,证明$\int_{\partial D}\dfrac{P(z)}{Q(z)}\mathrm{d}z=0$.
可以取很大的圆盘$B$包括了$\bar D$
$\int_{\partial D}\dfrac{P(z)}{Q(z)}\mathrm{d}z=\int_{\partial B}\dfrac{P(z)}{Q(z)}\mathrm{d}z=\int_{0}^{2\pi}\dfrac{P(Re^{it})}{Q(Re^{it})}Re^{it}i\mathrm{d}t$
$|\int_{0}^{2\pi}\dfrac{P(Re^{it})}{Q(Re^{it})}Re^{it}i\mathrm{d}t|=\int_{0}^{2\pi}|\dfrac{P(Re^{it})}{Q(Re^{it})}|R\mathrm{d}t\rightarrow0(R\rightarrow+\infty)$
全纯函数的原函数
设$f$在域$D$中连续,且对于$D$中任意可求长闭曲线$\gamma$,均有$\int_{\gamma}f(z)\mathrm{d}z=0$,那么$F(z)=\int_{z_0}^{z}f(s)\mathrm{d}s$是$f$的原函数.$F\in H(D),F’(z)=f(z)$.
设$D$是单连通区域,$f\in H(D)$,那么$F(z)=\int_{z_0}^{z}f(s)\mathrm{d}s$是$f$在$D$上的一个原函数.
设$D$是单连通区域,$f\in H(D)$,$\varPhi$是$f$的任一原函数,那么$\int_{z_0}^{z}f(s)\mathrm{d}s=\varPhi(z)-\varPhi(z_0)$.
Cauchy积分公式
设$D$是可求长简单闭曲线$\gamma$围成的域,如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$,那么$$f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{f(s)}{s-z}\mathrm{d}s$$这说明全纯函数在域中的值由边界的值完全确定.
计算$\int\limits_{|z|=r}\dfrac{|\mathrm{d}|z}{|z-a|^2},0<|a|<r$.
$\int\limits_{|z|=r}\dfrac{|\mathrm{d}z|}{|z-a|^2}=\int_0^{2\pi}\dfrac{r\mathrm{d}\theta}{(re^{i\theta}-a)(re^{-i\theta}-\bar a)}=\dfrac{1}{i}\int_0^{2\pi}\dfrac{re^{i\theta}i\mathrm{d}\theta}{(re^{i\theta}-a)(r-\bar ae^{i\theta})}=\dfrac{r}{i}\int\limits_{|z|=r}\dfrac{\mathrm{d}z}{(z-a)(r^2-\bar az)}=\dfrac{2\pi r}{r^2-|a|^2}$.
设$\gamma$是可求长曲线,$g$是$\gamma$上的连续函数,那么Cauchy型积分$G(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{g(s)}{s-z}\mathrm{d}s$是$\mathbb{C}-\gamma$上的全纯函数,且$$G^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{g(s)}{(s-z)^{n+1}}\mathrm{d}s$$.
设$D$是可求长简单闭曲线$\gamma$围成的域,如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$,那么$f$在$D$上任意阶可导,且$f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}\mathrm{d}s$.
如果$f$在域$D$上全纯,那么$f$有任意阶导数.
设$D$是有限条可求长简单闭曲线所围成的区域,$\gamma_1,\cdots\gamma_n$位于$\gamma_0$内部,$\gamma_1,\cdots\gamma_n$中的每一条都在其他$n-1$条的外部,用$\gamma$记$D$的边界,如果$f\in H(D)\cap C(\bar D)$,那么$f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\gamma}\dfrac{f(s)}{s-z}\mathrm{d}s$,$f$在$D$内有任意阶导数,且$f^{(n)}(z)=\dfrac{n!}{2\pi i}\int_\gamma\dfrac{f(s)}{(s-z)^{n+1}}\mathrm{d}s$.
设$f\in H(B(0,r))\cap C(\overline{B(0,r)})$.$a,\neq b\in B(0,r)$.则$\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(0,r)}\dfrac{f(s)}{(s-a)(s-b)}\mathrm{d}s=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
取$\varepsilon$足够小,$\overline{B(a,\varepsilon)},\overline{B(b,\varepsilon)}\subset B(0,r)$,且$\overline{B(a,\varepsilon)}\cap\overline{B(b,\varepsilon)}=\varnothing$.
$\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(0,r)}\dfrac{f(s)}{(s-a)(s-b)}\mathrm{d}s=\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(a,\varepsilon)}\dfrac{f(s)}{(s-a)(s-b)}\mathrm{d}s+\dfrac{1}{2\pi i}\int_{\partial B(b,\varepsilon)}\dfrac{f(s)}{(s-a)(s-b)}\mathrm{d}s=\dfrac{f(a)}{a-b}+\dfrac{f(b)}{b-a}=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
注:由这个式子,如果函数在复平面上有界,那么必为常函数.同时,也可以轻易推出代数学基本定理.
Cauchy积分公式的重要推论
Cauchy不等式设$f\in H(a,r)$,且$f(z)\le M$,则$$|f^{(n)}(a)|\le\dfrac{n!M}{R^n}$$
Liouville不等式$\mathbb{C}$上的有界全纯函数(有界整函数)一定是常数.
从而,$\mathbb{C}$上实部非负的全纯函数一定是常数,因为右半平面和单位圆盘是一样的.
再从而,$\mathbb{C}$上的调和函数$u$满足$u(\mathbb{C})\neq\mathbb{R}$,则$u$是常数.
代数学基本定理任意复系数$n$次多项式$P(z)$必有$n$个复根.
其实只要证明$P(z)$在$\mathbb{C}$中必有零点即可.用反证法,则$\dfrac{1}{P(z)}$是整函数,且有界,是常数,矛盾.
Morera定理若$f$在区域$D$上连续,且在$D$中任意可求长闭曲线的积分为零,则$f$在$D$上全纯.
Pompeiu积分公式
设$E$是$\mathbb{C}$上的非空点集,$f_1,f_2,f$是$E$的领域上的$C^k$函数.称$f$为零次微分形式,$f_1\mathrm{d}z+f_2\mathrm{d}\bar{z}$为一次微分形式,$f\mathrm{d}z\land\mathrm{d}\bar z$为二次微分形式.
- $\mathrm{d}z\land\mathrm{d}z=0$
- $\mathrm{d}\bar z\land\mathrm{d}\bar z=0$
- $\mathrm{d}z\land\mathrm{d}\bar z=-\mathrm{d}\bar z\land\mathrm{d}z$
微分算子$\mathrm{d}$:
- $\mathrm{d}f=\dfrac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z+\dfrac{\partial f}{\partial\bar z}\mathrm{d}\bar z$
- $\mathrm{d}(f_1\mathrm{d}z+f_2\mathrm{d}\bar{z})=\mathrm{d}f_1\land\mathrm{d}z+\mathrm{d}f_2\land\mathrm{d}\bar z=(\dfrac{\partial f_2}{\partial z}-\dfrac{\partial f_1}{\partial\bar z})\mathrm{d}z\land\mathrm{d}\bar z$
- $\mathrm{d}(f\mathrm{d}z\land\mathrm{d}\bar z)=0$
- $\mathrm{d}^2\omega=0$
对于非空点集$E\subset\mathbb{C}$上的零次微分形式,$f$在$z_0$上的正向积分为$f(z_0)$,反向积分为$-f(z_0)$.
对于可求长曲线$\gamma$上的一次连续微分形式,$f_1\mathrm{d}z+f_2\mathrm{d}\bar{z}$在$\gamma$上的积分为$\int_{\gamma}(f_1\mathrm{d}z+f_2\mathrm{d}\bar{z})=\int_{\gamma}((f_1+f_2)\mathrm{d}x+i(f_1-f_2)\mathrm{d}y)$.
对于有面积的点集$E\subset\mathbb{C}$上的二次连续微分形式,$f\mathrm{d}z\land\mathrm{d}\bar z$在$E$上的积分$\iint_E f\mathrm{d}z\land\mathrm{d}\bar z=\iint_E -2if\mathrm{d}x\land\mathrm{d}y$.
Newton-Leibniz公式设$\gamma$是可求长曲线,$\partial\gamma$是$\gamma$的诱导边界(终点减起点),$f$是$\gamma$上的零次$C^1$微分形式.则$$\int\limits_{\partial\gamma}f=\int\limits_\gamma\mathrm{d}f=\int\limits_\gamma(\dfrac{\partial f}{\partial z}\mathrm{d}z+\dfrac{\partial f}{\partial\bar z}\mathrm{d}\bar z)$$.
Green公式设$D$由有限条可求长简单闭曲线围成,$\partial D$是$D$的诱导边界,$\omega=f_1\mathrm{d}z+f_2\mathrm{d}\bar{z}$是$\bar D$上的一次$C^1$微分形式.则$$\int\limits_{\partial D}\omega=\int\limits_D\mathrm{d}\omega=\iint\limits_D(\dfrac{\partial f_2}{\partial z}-\dfrac{\partial f_1}{\partial\bar z})\mathrm{d}z\land\mathrm{d}\bar z$$.
Pompeiu积分公式设$D$由有限条可求长简单闭曲线围成,$\partial D$是$D$的诱导边界,$f\in C^1(\bar D)$,那么$$f(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{\partial D}\dfrac{f(s)}{s-z}\mathrm{d}s+\dfrac{1}{2\pi i}\iint\limits_{D}\dfrac{\partial f(s)}{\partial\bar s}\dfrac{1}{s-z}\mathrm{d}s\land\mathrm{d}\bar s$$.
一维$\bar\partial$问题的解
所谓一维$\bar\partial$问题,是指在域$D$上给定一个函数,求$u$,且在$D$上有非其次Cauchy-Riemann方程$\dfrac{\partial u(z)}{\partial\bar z}=f(z)$.
设$\varphi$是$D$的函数,使$\varphi$不取零值的点集的闭包称为$\varphi$的支集,记为$\mathrm{supp}\varphi$.若支集为紧集,则称$\varphi$是$D$上拥有紧支集的函数.$D$上具有紧支集的$C^k$函数全体用$C^k_c(D)$表示.
设$D\subset\mathbb{C}$,$f\in C^k_c(D)$,令$$u(z)=\dfrac{1}{2\pi i}\iint\limits_{D}\dfrac{f(s)}{s-z}\mathrm{d}s\land\mathrm{d}\bar s$$,则$u\in C^k(D)$,并且满足$\dfrac{\partial u(z)}{\partial\bar z}=f(z)$.
设$D\subset\mathbb{C}$,$f\in C^\infty(D)$,则存在$u\in C^\infty(D)$,也存在$u\in C^\infty(D)$,$\dfrac{\partial u(z)}{\partial\bar z}=f(z)$.
全纯函数的Taylor展开及其应用
Weierstrass定理
Weierstrass一致收敛判别法设$f_n:E\rightarrow\mathbb{C}$是定义在$E$上的函数列,且在$E$上满足$|f_n(z)|\le a_n$,且$\sum\limits_{n=1}^\infty a^n$收敛,则$\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(z)$在$E$上一致收敛.
若连续函数项级$\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(z)$在$E$上一致收敛到$f(z)$,则$f(z)$也在$E$上连续.
若连续函数项级$\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(z)$在可求长曲线$\gamma$上一致收敛到$f(z)$,则$\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z=\sum\limits_{n=1}^\infty\int_\gamma f(z)\mathrm{d}z$.
设$D$是$\mathbb{C}$中的区域,$K$是$D$中的紧子集,$n\in\mathbb{N}_+$,$f\in H(D)$,有$\max\limits_{z\in K}|f^{(k)}(z)|\le C\mathop{\mathrm{sup}}\limits_{z\in D}|f(z)|$.
Weierstrass定理设$D$是$\mathbb{C}$的区域,如果全纯函数项级数$\sum\limits_{n=1}^\infty f_n(z)$内闭一致收敛到$f(z)$.则$f(z)$是全纯函数,且$\sum\limits_{n=1}^\infty f^{(k)}_n(z)$在$D$中内闭一致收敛到$f^{(k)}(z)$.
幂级数
Abel第一定理对于幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty a_nz^n$,令$R=\dfrac{1}{\overline{\lim\limits_{n\rightarrow\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}}$是该幂级数的收敛半径,幂函数在其收敛圆盘内内闭绝对一致收敛,在收敛圆盘外发散.
幂级数的和函数在其收敛圆盘上全纯.
Abel第二定理设$f(x)$是幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty a_nz^n$在收敛圆盘上的和函数,$z_0$位于收敛圆周上.若$\sum\limits_{n=1}^\infty a_nz_0^n$收敛到$S$,那么$f$在$z_0$处有非切向极限$S$.
求幂级数$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{z^n}{n}$.
它的收敛点集为$\overline{B(0,1)}-\lbrace1\rbrace$.
在圆盘内,$f(z)=\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{z^n}{n}$全纯,$f’(z)=\sum\limits_{n=1}^\infty z^{n-1}=\dfrac{1}{1-z}$.则$f(z)=-\log(1-z)$(满足$\log1=0$的单纯全纯分支).
再由Abel第二定理,有$f(e^{i\theta})=-\lim\limits_{r\rightarrow1^-}\log(1-re^{i\theta})=-\log(1-e^{i\theta})$.
而且,$f(e^{i\theta})=\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{\cos n\theta}{n}+i\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n\theta}{n}$
$-\log(1-e^{i\theta})=\log(\dfrac{e^{i\frac{\pi-\theta}{2}}}{2\sin\frac{\theta}{2}})=-\log2\sin\dfrac{\theta}{2}+i(\dfrac{\pi-\theta}{2})$
从而,$\dfrac{\cos n\theta}{n}=\log2\sin\dfrac{\theta}{2}$,$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{\sin n\theta}{n}=\dfrac{\pi-\theta}{2}$.$(0<\theta<2\pi)$
有$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}=\log2$.$\sum\limits_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac{\pi}{4}$.
全纯函数的Taylor展开
若$f\in H(B(z_0,R))$,则$f$可以在$B(z_0,R)$展开为Taylor级数:$$f(z)=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n$$
$f$在$z_0$处全纯的充分必要条件是$f$在$z_0$的领域内可以展开为幂级数.
- $e^z=\sum\limits_{n=0}^\infty\dfrac{z^n}{n!}$
- $\cos z=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{z^{2n}}{(2n)!}$
- $\sin z=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\dfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$
- $\log(1+z)=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\dfrac{z^n}{n},|z|<1$,$\log1=0$的分支
- $(1+z)^\alpha=\sum\limits_{n=0}^\infty C_\alpha^n z^n,|z|<1,\alpha>0$,$1^\alpha=1$的分支
设$f$在$z_0$处全纯,如果$f(z_0)=0,f’(z_0)=0,\cdots,f^{(m-1)}(z_0)=0,f^{(m)}(z_0)\neq0$,则称$z_0$是$f$的$m$阶零点.
$z_0$是$f$的$m$阶零点当且仅当$f$在$z_0$的领域内可以表示为$f(z)=(z-z_0)^mg(z)$,这里$g$在$z_0$全纯,且$g(z_0)\neq0$.
如果在区域上的全纯函数$f$在某一点有无穷阶零点,则$f=0$.
区域$D$上的非零全纯函数$f$的零点是孤立的,即若$f(z_0)=0$,则存在圆盘$B(z_0,\varepsilon)\subset D$,$f$在圆盘上只有一个零点$z_0$.
唯一性定理设$D$是区域,$f_1,f_2\in H(D)$.如果存在$D$彼此不同的点列$\lbrace z_n\rbrace$,且$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}=a\in D$,使得$f_1(z_n)=f_2(z_n)$,那么在$D$中有$f_1(z)=f_2(z)$.
所以,实变量三角公式都能运用到复变量中;实变量泰勒展开都能运用到复变量中.
辅角原理与Rouché定理
设$f\in H(D)$,$\gamma$是$D$中一条可求长简单闭曲线,$\gamma$的内部位于$D$中.如果$f$在$\gamma$上没有零点,在$\gamma$内部有彼此不同的零点$a_1,a_2,\cdots,a_n$,阶数分别为$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$,那么$$\dfrac{1}{2\pi i}\int\limits_{\gamma}\dfrac{f’(z)}{f(z)}\mathrm{d}z=\sum\limits_{k=1}^\infty\alpha_k$$.
辐角原理设$f\in H(D)$,$\gamma$是$D$中一条可求长简单闭曲线,$\gamma$的内部位于$D$中.如果$f$在$\gamma$上没有零点,那么当$z$沿着$\gamma$的正方向转动一圈时,$f(z)$在相应的曲线$\varGamma$上绕原点的总圈数恰好等于$f$在$\gamma$内部零点的个数.可以记为$$\dfrac{1}{2\pi}\Delta_\gamma\mathrm{Arg}f(z)=N$$.
Rouché定理设$f,g\in H(D)$,$\gamma$是$D$中可求长的简单闭曲线,$\gamma$的内部位于$D$中.如果$z\in\gamma$时,有不等式$|f(z)-g(z)|<|f(z)|$,那么$f$和$g$在$\gamma$内部的零点个数相同.
$z^4-6z+3$在$1<|z|<2$中的零点个数.
在$|z|=2$上,$|(z^4-6z+3)-z^4|\le15<16=|z^4|$,从而$z^4-6z+3$在$|z|<2$的圆盘中零点个数为$4$个.
在$|z|=1$上,$z^4-6z+3$没有零点.
在$|z|=1$上,$|(z^4-6z+3)-(-6z))|\le4<6=|-6z|$,从而$z^4-6z+3$在$|z|<1$的圆盘中零点个数为$1$个.
所以$z^4-6z+3$在$1<|z|<2$中的零点个数是$3$.
设$f$是区域$D$上的非常数全纯函数,$z_0\in D$,记$w_0=f(z_0)$,如果$z_0$是$f(z)-w_0$的$m$阶零点,那么对于充分小的$\rho>0$,必存在$\delta>0$,使得对于任意$w\in B(w_0,\delta)-\lbrace w_0\rbrace$,$f(z)-w$在$B(z_0,\rho)$中恰有$m$个一阶零点.
设$f$是区域$D$上的非常数全纯函数,$z_0\in D$,记$w_0=f(z_0)$,那么对于充分小的$\rho>0$,必存在$\delta>0$,使得$f(B(z_0,\rho))\supset B(w_0,\delta)$.
保域性定理设$f$是区域$D$上的非常数全纯函数,那么$f(D)$也是$\mathbb{C}$中的域.
如果$f$是区域$D$中单叶的全纯函数,那么对于$D$内的每一点$z$,有$f’(z)\neq0$.逆命题不成立,但若$f$是区域$D$中单叶的全纯函数,如果$z_0\in D$,$f’(z_0)\neq0$,那么$f$在$z_0$的领域中单叶.
如果$f$是区域$D$中单叶的全纯函数,那么它的反函数$f^{-1}$是$G=f(D)$上的全纯函数,而且$(f^{-1})’(w)=\dfrac{1}{f’(z)}$.
最大模原理和Schwarz引理
最大模原理设$f$是区域$D$上的非常数全纯函数,那么$|f(z)|$不能在$D$的内点处取到最大值(也不能取得极大模).
设$u$是区域$D$上的非常数实值调和函数,那么$u$不能在$D$的内点处取到最大值和最小值(也不能取到极大值和极小值).
如果$f$是有界区域$D$上的非常数全纯函数,$f$在$\bar D$连续,那么$f$的最大模在$D$的边界上且只能在边界上取到.
设$u$是有界区域$D$上的非常数实值调和函数,$u$在$\bar D$连续,那么$u$的最大值和最小值在$D$的边界上且只能在边界上取到.
Schwarz引理设$f:B(0,1)\rightarrow B(0,1)$,$f(0)=0$,那么
- $|f(z)|\le|z|$,等号若在$z\neq0$处成立,当且仅当$f=e^{i\theta}z$;
- $|f’(0)|\le1$,等号成立当且仅当$f=e^{i\theta}z$;
设$D$是$\mathbb{C}$的区域,若有双全纯映射$f:D\rightarrow D$,就称$f$是$D$的全纯自同构,$D$的全纯自同构全体称为$D$的全纯自同构群记为$\mathrm{Aut}(D)$.
单位圆盘的全纯自同构是$f(z)=e^{i\theta}\dfrac{a-z}{1-\bar az}$.记$\varphi_a(z)=\dfrac{a-z}{1-\bar az}$,它满足$\varphi_a(0)=a,\varphi_a(a)=0,\varphi_a^{-1}=\varphi_a$.
Schwarz-Pick引理设$f:B(0,1)\rightarrow B(0,1)$,$f(a)=b$,那么
- $|\dfrac{f(a)-f(z)}{1-\overline{f(a)}f(z)}|\le|\dfrac{a-z}{1-\bar az}|$,等号在$z\neq a$处成立当且仅当$f\in\mathrm{Aut}(D)$;
- $\dfrac{|f’(a)|}{1-|f(a)|^2}\le\dfrac{1}{1-|a|^2}$,刚才成立当且仅当$f\in\mathrm{Aut}(D)$;
称$\dfrac{\mathrm{d}z}{1-|z|^2}$为$B(0,1)$在$z$处的Poincare度量的无穷小形式.
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