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拓扑空间

拓扑空间与同胚

设$X$是一非空集合,$\mathscr{T}$是$X$d的一个子集族,若满足

• $X,\varnothing\in\mathscr{T}$
• 若$A,B\in\mathscr{T}$,则$A\cap B\in\mathscr{T}$
• 若$\mathscr{T_1}\subset\mathscr{T}$,则$\bigcup_{A\in\mathscr{T}}A\in\mathscr{T}$

则称$\mathscr{T}$是$X$的一个拓扑,$\mathscr{T}$中的元素称为开集.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,若$Y$中每一个开集$U$的原像$f^{-1}(U)$是$X$的一个开集,则称$f$连续.

假定下述映射都是连续的.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,如果存在映射$f:X\rightarrow Y$和$g:Y\rightarrow X$,有$f\circ g=I_Y$,$g\circ f=I_X$,则称$X,Y$同胚.

拓扑空间的某种性质$P$,如果在同胚意义下保持不变,则称$P$为拓扑性质.

同伦与同伦型

设映射$f,g:X\rightarrow Y$如果$F:X\times I\rightarrow Y$使得对$\forall x\in X$,$F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x)$,则称$f,g$同伦,$F$称为一个伦移,记作$f\overset {F}{\simeq}g$和$f_t:X\rightarrow Y,t\in I$.

记$X=\lbrace x\in \mathbb{R}^2|1\le x^2<2 \rbrace,f:X\rightarrow X,f(x)=\dfrac{x}{||x||}\in S^1$,则$f\simeq I_X$,因为有$F(x,t)=\dfrac{x}{t+(1-t)||x||}$.

对于拓扑空间$X,Y$,记$Y^X=\mathrm{map}(X,Y)$代表$X$到$Y$的全部连续映射.赋予紧开拓扑$T=\lbrace X$中所有紧致子集$\rbrace$,$F=\lbrace Y$中所有开集$\rbrace$,$\forall k\in T,U\in F$,令$N(K,U)=\lbrace f:X\rightarrow Y|f(K)\subset U\rbrace\subset Y^X$,$\mathscr{B}=\lbrace N(K,U)|K\in T,U\in F\rbrace$构成一个基,生成$Y^X$的一个拓扑.称为映射空间.

在$X$到$Y$的所有映射构成的集合$Y^X$中,同伦是一种等价关系.

商集称为同伦类集,$[X\quad Y]=Y^X/\simeq=\lbrace[f]|f:X\rightarrow Y\rightarrow$,其中$[f]$是$f$所在的同伦等价类.

设$X$为拓扑空间,$S^n$为$n$维球面.若有映射$f,g:X\rightarrow S^n$,满足$\forall x\in X$,$f(x)\neq-g(x)$,则$f,g$同伦.$\forall x\in X,(1-t)f(x)+tg(x)\neq0,t\in I$.令$F_t(x)=\dfrac{(1-t)f(x)+tg(x)}{||(1-t)f(x)+tg(x)||}$.
设$X$为拓扑空间,$S^n$为$n$维球面.若映射$f,g:X\rightarrow S^n$不满,则其同伦于常值映射.设$-a$不在像集之中,则$\forall x\in X,f(x)\neq -a$,考虑$\forall x\in X,C_{X}(x)=a$,其满足上例条件.

设$A\subset X$,则$(X,A)$为一个空间偶.若$(Y,B)$为另一个空间偶,$f:X\rightarrow Y,f(A)\subset B$,称$f$为空间偶间的映射,记作$f:(X,A)\rightarrow(Y,B)$.

$f,g:(X,A)\rightarrow(Y,B)$,若有$F(x,0)=f(x),F(x,1)=g(x)$,且$\forall a\in A,t\in I,F(a,t)\in B$,称为空间偶的同伦等价,记作$f\simeq g,(X,A)\rightarrow(Y,B)$.

若$A=\lbrace a\rbrace$,$B=\lbrace b\rbrace$(均为单点集,伦移保持两点不变),称$X,Y$为带基点的空间.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,如果存在映射$f:X\rightarrow Y$和$g:Y\rightarrow X$,有$f\circ g\simeq I_Y$,$g\circ f\simeq I_X$,则称$X,Y$同伦,记为$X\simeq Y$或$f:X\xrightarrow{\simeq}Y$

$\mathbb{R}-\lbrace 0 \rbrace \simeq S^1$.因为有$f(r,\theta)=(1,\theta)$,$F_t(r,\theta)=((1-t)r+t,\theta)$.

设$A$为$X$的子空间,若存在$r:X\rightarrow A$,使得$r\circ i=1$,称$A$是$X$的收缩核.进一步,若$i\circ r\simeq 1$,称$A$为$X$的形变收缩核.

若$X$同伦与单点空间$\lbrace x_0\rbrace$,称$X$为可缩空间.

二维圆盘$D^2$是一个可缩空间.

一些拓扑空间

在$\mathbb{R}^{n+1}-\lbrace 0 \rbrace $中,定义等价关系$x\sim y\Leftrightarrow y=kx$,称为$n$维实射影空间$\mathbb{RP}^n$.

在$S^n$中,将对径点$x$和$-x$粘合,得到$\mathbb{RP}^n$.

设$X$是一个拓扑空间,将$X\times I$的$X\times \lbrace 1 \rbrace $粘合为一点,称为$X$的锥,记作$CX$.$CX$是可缩空间.$X\times \lbrace 1 \rbrace $和$X\times \lbrace 0 \rbrace $都粘合为一点可以得到双锥$\Sigma X$.

设$A$是$X$的子空间,$f:A\rightarrow Y$,在$X\sqcup Y$中定义等价关系$x\sim f(x)\in Y$,商空间称为$X$沿$f:A\rightarrow Y$粘合在$Y$上.

设$f:X\rightarrow Y$,考虑$f:X\times \lbrace 0\rbrace \rightarrow Y,f(x,0)=f(x)$,将$CX$沿$f$粘合在$Y$上,得到的空间记作$Y\cup_fCX$,称为$f:X\rightarrow Y$的映射锥.

$f:S^{n-1}\rightarrow Y$的映射锥$Y\cup_fCS{n-1}=Y\cup_fD^n$,称为在$Y$上粘合$n$维胞腔.

设$f:X\rightarrow Y$,考虑$f:X\times \lbrace 0\rbrace \rightarrow Y,f(x,0)=f(x)$,将$X\times I$沿$f$粘合在$Y$上,得到的空间记作$Y\cup_fX\times I$,称为$f:X\rightarrow Y$的映射柱,$Y\cup_fX\times I\simeq Y$.

$S^1\lor S^1$上粘合$I\times I\cong D^2$,得到$S^1\lor S^1\cup_{aba^{-1}b^{-1}}D^2\cong T$

把$D^2=\lbrace x^2+y^2=4 \rbrace $的边缘在$S^1$上粘两圈,得到的是$S^1\cup_2D^2\cong\mathbb{RP}^2$,记作Moore空间.

基本群

$\dfrac{x}{x^2+y^2}$和$\dfrac{y}{x^2+y^2}$在$R^2-\lbrace 0\rbrace $连续,$\int_\gamma-\dfrac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\dfrac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$与路径无关,只要保证从$(x_1,y_1)$到$(x_2,y_2)$的两条路径包围的区域不包含$0$.
考虑$\gamma:\left\lbrace \begin{array}{c}x=\cos\theta \\ y=\sin\theta \end{array}\right.0\le\theta<2\pi$.$\oint_\gamma-\dfrac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\dfrac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y=2\pi$.
对$R^2-\lbrace 0\rbrace $中任何一条闭曲线$\gamma$,$\oint_\gamma-\dfrac{y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\dfrac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y=2k\pi$,$k\in\mathbb{Z}$表示逆时针绕过$0$的周数.$k$是闭曲线的一个拓扑性质.$\mathbb{Z}$是$R^2-\lbrace 0\rbrace $的基本群.

道路同伦与基本群

映射$\sigma:I\rightarrow X$,在$\sigma(0)=x_0$,$\sigma(1)=x_1$,称为$X$中从$x_0$到$x_1$的一条道路.

对于$X$中两条从$x_0$到$x_1$的道路$\sigma,\tau$,若存在伦移$F:I\times I\rightarrow X$,有$F(s,0)=\sigma(s),F(s,1)=\tau(s),F(0,t)=x_0,F(1,t)=x_1$,则称$\sigma,\tau$道路同伦,$F$为从$\sigma$到$\tau$的道路伦移,记作$\sigma\overset {F}{\simeq}_p\tau$或$\sigma\simeq\tau\mathrm{rel}\lbrace 0,1\rbrace $.

$\mathbb{R}^n$中任两条从$x_0$到$x_1$的道路$\sigma,\tau$都道路同伦.可以取$F(s,t)=(1-t)\sigma(s)+t\tau(s)$.

$X$中所有从$x_0$到$x_1$的道路构成的集合中,道路同伦是一种等价关系.

$PX=\lbrace \sigma:I\rightarrow X|\sigma(0)=x_0\rbrace $,有映射$\pi:PX\rightarrow X,\pi(\sigma)=\sigma(1)$.给定$x_1$,$\pi^{-1}(x_1)=\lbrace \sigma:I\rightarrow X|\sigma(0)=x_0,\pi(\sigma)=\sigma(1)=x_1\rbrace $,有$\pi^{-1}(x_1)/\simeq$为道路同伦等价类集合.特别地,取$x_1=x_0$,此时记$\pi^{-1}(x_0)$为$\Omega X$,定义紧开拓扑后为回路空间.

设$X$中两条道路$\sigma,\tau$,若$\sigma(1)=\tau(0)$,定义$\sigma\circ\tau:I\rightarrow X=\begin{cases}\sigma(2s), & 0\le s \le \dfrac12 \\ \tau(2s-1), & \dfrac12\le s\le 1\end{cases}$,称为道路的乘积.

设$X$中道路$\sigma\simeq_p\sigma’,\tau\simeq_p\tau’$,若$\sigma(1)=\tau(0)$,则$\sigma\circ\tau\simeq_p\sigma’\circ\tau’$

设$X$中道路$\sigma,\tau,\omega$,若$\sigma(1)=\tau(0),\tau(1)=\omega(0)$,则$(\sigma\circ\tau)\circ\omega\simeq_p\sigma\circ(\tau\circ\omega)$

以$x_0$为起点,终点的回路,关于道路同伦有一个等价类.等价类集$\Omega X/\simeq$记作$\pi_1(X,x_0)$,其中代表元$[\sigma]=\lbrace \tau:I\rightarrow X|\sigma\simeq_p\tau\rbrace$.定义乘法$[\sigma][\tau]=[\sigma\tau]$,做成一群,称为$X$的基本群.

$\pi_1(\mathbb{R}^n,0)=\lbrace e\rbrace=0$.

基本群的性质

考虑映射$f:(X,x_0)\rightarrow(Y,y_0)$,$X$中回路$\sigma:I\rightarrow X,\sigma(0)=\sigma(1)=x_0$.

• $f\sigma:I\rightarrow Y,(f\sigma)(0)=(f\sigma)(1)=y_0$.设$X$中道路$\sigma\simeq_p\tau$,则$f\sigma\simeq_p f\tau$.
• 对$[\sigma]\in\pi_1(X,x_0)$,$\sigma,\tau\in[\sigma]$,则$[f\sigma]=[f\tau]$.

设$f:(X,x_0)\rightarrow(Y,y_0)$,定义映射$\hat{f}:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(Y,y_0),\hat{f}([\sigma])=[f\sigma]\in\pi_1(Y,y_0)$,其是群同态,且有:

• $f:(X,x_0)\rightarrow(Y,y_0)$,$g:(Y,y_0)\rightarrow(Z,z_0)$,则$\hat{(g\circ f)}=\hat{g}\circ\hat{f}$.
• 对$1:(X,x_0)\rightarrow(X,x_0)$,$\hat{1}=1:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(X,x_0)$.

从而$\pi_1(X,x_0)$是同胚不变量.若$f:(X,x_0)\xrightarrow{\cong}(Y,y_0)$是同胚,则$\hat{f}:\pi_1(X,x_0)\xrightarrow{\cong}\pi_1(Y,y_0)$是同构.

作为空间偶,若$f\simeq g:(X,x_0)\rightarrow(Y,y_0)$,则$\hat{f}=\hat{g}:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(Y,y_0)$.$f$到$g$的伦移$F:X\times I\rightarrow Y$满足$\forall t\in I$,$F(x_0,t)=y_0$.

从而,基本群也是同伦不变量.若$f:(X,x_0)\xrightarrow{\simeq}(Y,y_0)$是同伦,则$\hat{f}:\pi_1(X,x_0)\xrightarrow{\cong}\pi_1(Y,y_0)$是同构.

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若$f\simeq g:X\rightarrow Y$,$H:X\times I\rightarrow Y$是从$F$到$g$的伦移,$f(x_0)=y_0,g(x_0)=y_0’$.有$\gamma:I\rightarrow Y,\gamma(t)=H(x_0,t)$是$Y$中从$y_0$到$y_0’$的道路.

则$\hat{f}=\hat{g}:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi_1(Y,y_0)$.$f$到$g$的伦移$F:X\times I\rightarrow Y$满足$\forall t\in I$,$F(x_0,t)=y_0$.$\hat{f}:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi(Y,y_0)$,$\hat{g}:\pi_1(X,x_0)\rightarrow\pi(Y,y_0’)$.

对于$Y$中的从$y_0$到$y_0’$的一条道路$\gamma:I\rightarrow Y,\gamma(0)=y_0,\gamma(1)=y_0’$.定义映射$\hat{\gamma}:\pi(Y,y_0)\rightarrow\pi(Y,y_0’)$,对$[\sigma]\in\pi(Y,y_0)$,$\hat{\gamma}([\sigma])=[\gamma^{-1}\sigma\gamma]$.

对于$Y$中从$y_0$到$y_0’$的道路$\gamma$,$\hat{\gamma}:\pi(Y,y_0)\rightarrow\pi(Y,y_0’)$是群同构.

从而当$Y$道路连通时,$\pi_1(Y,y_0)$与$y_0$无关,故也可以记作$\pi_1(Y)$.

圆周的基本群

记$S^1=\lbrace e^{2\pi it}\in\mathbb{C}|t\in[-\dfrac12,\dfrac12]\rbrace$,取$x_0=e^0$.有$\pi_1(S^1,x_0)\cong\mathbb{Z}$,生成元$\sigma_1:I\rightarrow S^1,\sigma_1(s)=e^{2\pi is}$.

构造映射$\varPhi:\mathbb{R}\rightarrow S^1$,对$\forall x\in\mathbb{R},\varPhi(x)=e^{2\pi ix}$.有:

• 对$\forall x\in S^1,x=e^{2\pi it},t\in[-\dfrac12,\dfrac12]$.$\varPhi^{-1}(x)=\lbrace t+n|n\in\mathbb{Z}\rbrace\cong\mathbb{Z}$.
• 对$\forall x\in S^1$,有邻域$U=\lbrace e^{2\pi it}|t\in(a,b)\rbrace$,$\varPhi^{-1}(U)=\bigcup\limits_{n\in\mathbb{Z}}(a+n,b+n)\cong U\times\mathbb{Z}$.

设$F$是一个离散的点集,$P:E\rightarrow B$为映射.如果对$\forall b\in B$,$P^{-1}(b)\cong F$且存在邻域$U$使得$P^{-1}(U)\cong U\times F$,称$P$为覆叠映射.

(道路提升引理)对$S^1$中任何的道路$\sigma:I\times S^1$,起点在$\sigma(0)=x_0$,都存在唯一的$\mathbb{R}$上的道路$\sigma’:I\rightarrow\mathbb{R}$,使得$\varPhi\sigma’=\sigma$且$\sigma’(0)=0$.称$\sigma’$为$\sigma$的道路提升.

(伦移提升引理)设$\sigma,\tau$是$S^1$上同伦两条道路,$\sigma(0)=\tau(0)=x_0$,伦移$F:I\times T\rightarrow S^1$是从$\sigma$到$\tau$的道路伦移,则存在$\mathbb{R}$中唯一的同伦$F’:I\times I\rightarrow\mathbb{R}$使得$\varPhi F’=F$,$F’(0,0)=0$.

构造映射$\kappa:\pi_1(S^1,x_0)\rightarrow \mathbb{Z}$,对$\forall[\sigma],\forall\sigma\in[\sigma]$,取$\sigma$的提升$\sigma’:I\rightarrow\mathbb{R},\sigma’(0)=0$,$\sigma(1)=\varPhi^{-1}(x_0)=\mathbb{Z}$.定义$\kappa([\sigma])=\sigma’(1)$.则$\kappa$为同构.

对$n>1$,$\pi_1(S^n,x_0)=0$,由此$\mathbb{R}^2$不与$\mathbb{R}^{n+1}$不同胚.
$D^2$的边界为$S^1$,内射$i:S^1\rightarrow D^2$,不存在$r:D^2\rightarrow S^1$使得$r\circ i=1$,即$S^1$不是$D^2$的收缩核.

(Brouwer不动点定理)任何从$D^2$到自身的映射$f:D^2\rightarrow D^2$一定有不动点.

Seifert-van Kampen定理

设$\lbrace G_\alpha\rbrace_{\alpha\in A}$是一族群,定义$\lbrace G_\alpha\rbrace_{\alpha\in A}$的自由积是群$G$.

• 单位元$e=e_\alpha$,$e_\alpha$是$G_\alpha$的单位元;
• 元素是任何有限长的字$g_1g_2\cdots g_m$,其中$g_i$属于某个$G_\alpha$;
• 乘法视为字的堆砌,即$(g_1g_2\cdots g_m)(h_1h_2\cdots h_n)=g_1g_2\cdots g_mh_1h_2\cdots h_n$;
• 关系,若$g_m,h_1$在同一个群时,若$g_mh_1=k$,$g_1g_2\cdots g_{m-1}kh_2\cdots h_n$.
• 逆元,$(g_1g_2\cdots g_m)^{-1}=g_m^{-1}\cdots g_2^{-1}g_1^{-1}$.

$\mathbb{Z}\lbrace a\rbrace=\lbrace a^n|n\in\mathbb{Z}\rbrace$,$\mathbb{Z}\lbrace b\rbrace=\lbrace b^n|n\in\mathbb{Z}\rbrace$.则$\mathbb{Z}\lbrace a\rbrace$和$\mathbb{Z}\lbrace b\rbrace$的自由积中的元为$a^{m_1}b^{n_1}a^{m_2}b^{n_2}\cdots a^{m_k}b^{n_k},m_i,n_i\in\mathbb{Z}$.称为$a,b$生成的自由群,记作$F\lbrace a,b\rbrace$.

令$[a,b]=aba^{-1}b^{-1}$称为$a,b$的交换子,$<[a,b]>$表示$F\lbrace a,b\rbrace$中$[a,b]$生成的正规子群,其中的元是满足$\sum\limits_{i=1}^{k}m_i=0,\sum\limits_{i=1}^{k}n_i=0$的$a^{m_1}b^{n_1}a^{m_2}b^{n_2}\cdots a^{m_k}b^{n_k}$.则$F\lbrace a,b\rbrace/<[a,b]>=\mathbb{Z}\lbrace a\rbrace\oplus\mathbb{Z}\lbrace b\rbrace$.

设$S$非空,则由$S$生成的自由群$F\lbrace S\rbrace$:

• 单位元$e=\alpha^0$;
• 元素$\alpha_1^{m_1}\alpha_2^{m_2}\cdots\alpha_k^{m_k},m_k\in\mathbb{Z},\alpha_i\in S$

设$G$是一个群,则任何集合的映射$f:S\rightarrow G$都可以扩充成群同态$\tilde{f}:F\lbrace S\rbrace\rightarrow G$.

任何群都同构于一个自由群的商群,因为取$f:G\rightarrow G,f(a)=a$,$\tilde{f}:F\lbrace G\rbrace\rightarrow G$,$G\cong F\lbrace G\rbrace/\mathrm{Ker}\tilde{f}$.

(Seifert-van Kampen定理)设$U,V$是$X$的两个开集,$U\cup V=X$,$x_0\in U\cap V$,$U,V,U\cap V$道路连通,有$i_1:\pi_1(U\cap V,x_0)\rightarrow(U,x_0),i_2:\pi_1(U\cap V,x_0)\rightarrow(V,x_0)$.令$N=<i_1^{-1}([\sigma])i_2([\sigma])|[\sigma]\in\pi_1(U\cap V,x_0)>$为$\pi_1(U,x_0)$和$\pi_1(V,x_0)$自由积中所有的$i_1^{-1}([\sigma])i_2([\sigma])$生成的正规子群.则$\pi_1(X,x_0)\cong\pi_1(U,x_0)*\pi_1(V,x_0)/N$.

基本群的计算

若$\pi_1(U\cap V,x_0)=0$,则$\pi_1(X,x_0)=\pi_1(U,x_0)*\pi_1(V,x_0)$.

$S^1\lor S^1$,即两个圆周的一点和,基本群为$\pi_1(S^1\lor S^1,x_0)\cong\mathbb{Z}\lbrace a\rbrace*\mathbb{Z}\lbrace b\rbrace=F\lbrace a,b\rbrace$.
$I$是一个下标集,对$\forall\alpha\in I$,$S_\alpha^1$是一个圆,令$\bigvee\limits_{\alpha\in I}S_\alpha^1$为若干个圆的一点和,则$\pi_1(\bigvee\limits_{\alpha\in I}S_\alpha^1,x_0)=F\lbrace I\rbrace$.

在$X$上粘接一个$n+1$维胞腔,当$n>1$时,$\pi_1(X\cup_fe^{n+1},x_0)\cong\pi_1(X,x_0)$.

$n=1$时,记$f:(S^1,y_0)\rightarrow(X,x_0)$,唯一对应$\sigma:I\xrightarrow{\pi_1}S^1\xrightarrow{f}X,\pi_1(s)=e^{2\pi is}$,$[\sigma]\in\pi_1(X,x_0)$.$X\cup_fe^2$记为$X\cup\sigma e^2$,$\pi_1(X\cup_\sigma e^2,x_0)\cong\pi_1(X,x_0)/<[\sigma]>$.$<[\sigma]>$为$[\sigma]$生成的正规子群.

从而,对任何有限生成群$G$,存在拓扑空间$(X,x_0)$,$\pi_1(X,x_0)\cong G$.

环面$T$可视为$(S_a^1\vee S_b^1)\cup_\sigma e^2$,$\sigma:I\rightarrow S^1\rightarrow S_a^1\vee S_b^1$,$\sigma$代表$F\lbrace a,b\rbrace$中的$aba^{-1}b^{-1}$.故$\pi_1((S_a^1\vee S_b^1)\cup_\sigma e^2,x_0)=F\lbrace a,b\rbrace/<aba^{-1}b^{-1}>=\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$.

积的基本群同构于基本群的积.即$pi_1(X\times Y,(x_0,y_0))\cong\pi_1(X,x_0)\times\pi_1(Y,y_0)$.

从而,$T=S^1\times S^1,\pi_1(S^1\times S^1,(x_0,y_0))\cong\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$.

$n$维实射影空间$\mathbb{RP}^n$定义为$n$维球面$S^n$的对顶点粘合,即$\mathbb{RP}^n\cong S^n/\sim$.也相当于将上半球面$S^n_+$的腰圆$S^{n-1}$的对径点粘合,从而相当于$n-1$维实射影空间上粘接$n$维胞腔,即$\mathbb{RP}^{n-1}\cup_fe^{n}$.
因此,当$n>2$时,$\mathbb{RP}^n\cong\mathbb{RP}^{n-1}$.
$\mathbb{RP}^2\cong\mathbb{RP}^1\cup_f e^2\cong S^1\cup_f e^2$,$f:S^1\rightarrow S^1/\sim$,$\sigma:I\rightarrow S^1\rightarrow S^1/\sim$,$\sigma$代表$\mathbb{Z}$中的$2$.从而$\pi_1(\mathbb{RP}^2,x_0)\cong\mathbb{Z}/2$

$SO(2)\cong S^1$,从而$\pi_1(SO(2),E)\cong\mathbb{Z}$.
$SO(3)$中的元素可视为绕轴$\alpha$的旋转$t\pi,t\in[-1,1]$.从而$SO(3)\cong S^2\times[-1,1]/\sim$,等价关系包括:

• $(\alpha,0)=E$,即绕轴不旋转为不动;
• $(\alpha,t)=(-\alpha,-t)$
• $(\alpha,1)=(\alpha,-1)$,即旋转$-\pi$相当于旋转$\pi$;

第一条等价关系相当于将$S^2\times\lbrace0\rbrace$粘合,成为双球锥.相当于正球锥$S^2\times[0,1]/S^2\times\lbrace0\rbrace$和负球锥$S^2\times[-1,0]/S^2\times\lbrace0\rbrace$的一点粘合.而$S^2\times[0,1]/S^2\times\lbrace0\rbrace\cong D^3$.从而相当于两个球心粘合的球.
第二条等价关系相当于把所有负球粘到正球上去.
可以得到$(\alpha,1)=(-\alpha,1)$,即把球的边界(表面)上的对径点粘合,从而得到$\mathbb{RP}^3$
$n>3$时,$\pi_1(SO(n),x_0)\cong\pi_1(SO(n-1),x_0)$.

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