• 拓扑空间
  • 度量空间
  • 拓扑空间
  • 邻域
  • 导集,闭集,闭包,内部,边界
  • 基
  • 序列
• 子空间、积空间、商空间
  • 子空间
  • 有限积空间
  • 商空间
• 连通性
  • 连通空间
  • 连通空间的应用
  • 局部连通
  • 道路连通空间
• 可数性公理
  • 可数性公理

拓扑空间

度量空间

设$X$为一集合,$\rho:X\times X\rightarrow R$若对$\forall x,y,z\in X$,有

• $\rho(x,y)\ge0$
• $\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
• $\rho(x,y)=\rho(y,x)$
• $\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z)$

称$\rho$为$X$的一个度量,$X$为带度量$\rho$的度量空间,$\rho(x,y)$称为$x,y$的距离.

在实数集$R$上,定义度量$\rho(x,y)=|x-y|$,称为实数空间.
在$R^n$上,定义度量$\rho(x,y)=\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}$,称为$n$维实数空间.
记$H=\lbrace x=(x_1,x_2\cdots)|x_i\in R,i\in N,\sum{x^2_i}<\infty\rbrace$,$\rho(x,y)=\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}$,称为Hilbet空间.

称度量空间$X$离散,如果$\forall x\in X,\exists \delta_x>0,\forall y\neq x\in X,\rho(x,y)>\delta_x$.有限集上的度量空间都是离散空间.

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设$X$为度量空间,$x\in X$,给定$\varepsilon>0$,$\lbrace y\in X|\rho(x,y)<\varepsilon\rbrace$称为$x$的$\varepsilon$-球形邻域,记作$B_\varepsilon(x)$或$B(x,\varepsilon)$.

• $x\in X$,至少有一个球形邻域,且$x$属于它的每一个球形邻域.
• $x\in X$的任意两个球形邻域,存在$x$的一个球形邻域包含于二者.
• 若$y\in B(x)$,则$y$有一个球形邻域包含于$B(x)$.

设$A$是度量空间$X$的一个子集,如果$A$中的每一点都有球形邻域包含于$A$,称$A$是度量空间的一个开集(开集是由内点组成的集合).

实数空间中的开集是任意开区间的并集.

• 全集$X$和空集$\varnothing$都是开集.
• 开集的有限交是开集.
• 开集的任意并是开集.

设$x\in X$,$U$是$X$的一个子集,如果存在开集$V$使得$x\in V\subset U$,则称$U$是$x$的一个邻域($x$是$U$的内点).

$U$是$x$的一个邻域的充要条件是$x$有某一个球形邻域包含于$U$.

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设$X$和$Y$是两个度量空间$f:X\rightarrow Y,x_0\in X$若对$f(x_0)$的任意球形邻域$B(f(x_0),\varepsilon)$,存在一个$x_0$的球形邻域$B(x,\delta)$,有$f(B(x_0,\delta))\subset B(f(x_0),\varepsilon)$,则称$f$在$x_0$处连续.若$f$在$X$内每一点连续,称$f$为一个连续映射.

• $f$在$x_0$连续$\Leftrightarrow$$f(x_0)$的每一个邻域的原像都是$x_0$的一个邻域.
• $f$连续$\Leftrightarrow$$Y$中的每个开集的原像都是$X$中的开集.

拓扑空间

设$X$是一非空集合,$\mathscr{T}$是$X$d的一个子集族,若满足

• $X,\varnothing\in\mathscr{T}$
• 若$A,B\in\mathscr{T}$,则$A\cap B\in\mathscr{T}$
• 若$\mathscr{T_1}\subset\mathscr{T}$,则$\bigcup_{A\in\mathscr{T}}A\in\mathscr{T}$

则称$\mathscr{T}$是$X$的一个拓扑,$\mathscr{T}$中的元素称为开集.

由空集和全集构成的集合$\mathscr{T}=\lbrace X,\varnothing\rbrace$称为平庸拓扑.
设$X$是一个非空集合,令$\mathscr{T}=P(X)$,称为离散拓扑.
设$X$是一个非空集合,令$\mathscr{T}=\lbrace U|U\subset X,\mathrm{card}(\bar U)<\infty\rbrace\cup\lbrace\varnothing\rbrace$,称为余有限空间.
设$X$是一个非空集合,令$\mathscr{T}=\lbrace U|U\subset X,\mathrm{card}(\bar U)=\aleph_0\rbrace\cup\lbrace\varnothing\rbrace$,称为余可列空间.
设$X$是度量空间,$\mathscr{T}_\rho$为$X$中所有开集构成的子集族,称为$X$由度量$\rho$诱导出的拓扑.

设$\mathscr{T}$是$X$的一个拓扑,若存在$X$的一个度量$\rho$使得$\mathscr{T}$是度量拓扑$\mathscr{T}_\rho$,则称$(X,\mathscr{T})$可度量化.

$X={1,2},\mathscr{T}=\lbrace\varnothing,X\rbrace$不可度量.
$X={1,2},\mathscr{T}=\lbrace\varnothing,X,\lbrace1\rbrace\rbrace$不可度量.

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设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,若$Y$中每一个开集$U$的原像$f^{-1}(U)$是$X$的一个开集,则称$f$连续.

• 恒等映射$i_X:X\rightarrow X$是一个连续映射.
• 若$f:X\rightarrow Y$和$g:Y\rightarrow Z$都是连续映射,则$g\circ f:X\rightarrow Z$也是连续映射.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,如果$f:X\rightarrow Y$是一个一一映射,并且$f$和$f^{-1}$都是连续的,则称$f$为同胚映射.

• 恒等映射$i_X:X\rightarrow X$是一个同胚映射.
• 若$f:X\rightarrow Y$是一个同胚映射,则若$f^{-1}:Y\rightarrow X$也是一个同胚映射.
• 若$f:X\rightarrow Y$和$g:Y\rightarrow Z$都是同胚映射,则$g\circ f:X\rightarrow Z$也是同胚映射.

设$X,Y$是两个拓扑空间,如果存在一个同胚映射$f:X\rightarrow Y$,则称$X$与$Y$同胚,记作$X\cong Y$.

拓扑空间的某种性质$P$,如果为某一个拓扑空间所具有,则所有与其同胚的拓扑空间都具有,则称性质$P$为拓扑不变性质,拓扑学的中心任务就是研究拓扑不变性质.

邻域

设$X$为拓扑空间,$x\in X$,如果$U$是$X$的一个子集,存在空集$V$使得$x\in V\subset U$,则称$U$是点$x$的一个邻域.点$x$的所有邻域构成的子集族称为$x$的邻域系,记作$\mathscr{U}_x$.

$X=\lbrace1,2,3\rbrace,\mathscr{T}=\lbrace\varnothing,X,\lbrace1\rbrace\rbrace$
1的开邻域有$\lbrace1\rbrace,X$
1的邻域还有$\lbrace1,2\rbrace,\lbrace1,3\rbrace$
3的开邻域有$X$

子集$U$是开集的充要条件是$U$是它的每一点的邻域.

设$X$为拓扑空间,$\mathscr{U}_x$为$x$的邻域系,则

• $\forall x\in X,\mathscr{U}_x\neq\varnothing$.
• 若$U\in\mathscr{U}_x$,则$x\in U$.
• 若$U,V\in\mathscr{U}_x$,则$U\cap V\in\mathscr{U}_x$.
• 若$U\in\mathscr{U}_x,U\subset V$,则$V\in\mathscr{U}_x$.
• 若$U\in\mathscr{U}_x$,则存在$V\in\mathscr{U}_x$,使得$V\subset U$,且$\forall y\in V,V\in\mathscr{U}_y$.

设$X$是一个非空集合,又设出每一点$x\in X$的一个子集族$\mathscr{U}_x$满足如上定理的若干条性质,则$X$有唯一一个拓扑$\mathscr{T}$使得对每一点$x$,$\mathscr{U}_x$恰是$x$在拓扑空间中的邻域系.可以证明$\mathscr{T}=\lbrace U|U\in\mathscr{U}_x,\mathrm{if}\:x\in U\rbrace$.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,若$f(x)$的每一个邻域$U$的原像$f^{-1}(U)$是$X$的一个邻域,则称$f$于$x$连续.

• 恒等映射$i_X:X\rightarrow X$在任意点$x\in X$连续.
• 若$f:X\rightarrow Y$在点$x\in X$处连续,$g:Y\rightarrow Z$在点$g(x)$处连续,则$g\circ f:X\rightarrow Z$在点$x$处连续.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,则映射$f$连续当且仅当其在每一点处连续.

导集,闭集,闭包,内部,边界

设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X$,若点$x\in X$的每一个邻域$U$中都有$A$中异于$x$的点,即$U\cap(A-\lbrace x\rbrace)\neq\varnothing$,则称$x$为集合$A$的一个聚点.$A$的所有聚点构成的集合称为$A$的导集,记作$A'$.若$x\in A$但$x$不是$A$的凝聚点,即存在$x$的某个邻域$U$使得$U\cap(A-\lbrace x\rbrace)=\varnothing$,则称$x$为$A$的孤立点.

• $\varnothing'=\varnothing$
• 若$A\subset B$,则$A'\subset B'$
• $(A\cup B)'=A'\cup B'$
• $(A')'=A\cup A'$

$\bar A=A\cup A'$,称为$A$的闭包.闭包都是闭集.

• $\bar\varnothing=\varnothing$
• $A\subset \bar A$
• $\overline{A\cup B}=\bar A\cup\bar B$
• $\overline{\overline{A}}=\bar A$

离散空间中的单点集是开集,因而任意离散空间的自己没有聚点,从而导集为$\varnothing$.
平庸空间$X$中,空集没有凝聚点,导集为空集;单点集$A$的邻域为$X$,导集为$X-A$;若$A$中包含多余一个点,则$A$的导集为$X$

设$X$为拓扑空间,$A\subset X$,若$A'\subset A$,则称$A$为闭集.$A$是闭集当且仅当$\complement A$为开集,当且仅当$A=\bar A$.$x\in\bar A$当且仅当$x$的任何一个邻域$U$都有$U\cap A=\varnothing$.

离散空间的任何子集都是闭集.
平庸空间的任何非空真子集都不是闭集.
实数空间中的闭区间都为闭集,$(-\infty,a]$和$[b,+\infty)$和$(-\infty,+\infty)$都是闭集.

设$X$是一个拓扑空间,记$\mathscr{F}$为所有闭集构成的族,则

• $X,\varnothing\in\mathscr{F}$
• 若$A,B\in\mathscr{F}$,则$A\cup B\in\mathscr{F}$
• 若$\varnothing\neq\mathscr{F}_1\subset\mathscr{F}$,则$\bigcap\limits_{A\in\mathscr{F}_1}A\in\mathscr{F}$

Cantor集是实数空间的一个闭集.

设$X$是一个拓扑空间,记$\mathscr{F}$为所有闭集构成的族,则对于$X$的每一个子集$A$,有$\bar A=\bigcap_{B\in\mathscr{F},B\supset A}B$即$A$的闭包等于包含$A$的所有闭集之交,即包含这个集合的最小闭集.

设$X$是一个集合,映射$c:P(X)\rightarrow P(x)$若满足$\forall A,B\in P(X)$

• $c(\varnothing)=\varnothing$
• $A\subset c(A)$
• $c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)$
• $c(c(A))=c(A)$

则称为一个闭包运算.上述四条通称Kuratovski闭包公理.

设$X$是一个集合,$c:P(X)\rightarrow P(x)$是一个闭包运算,则存在$X$的唯一一个拓扑$\mathscr{T}$,使得在拓扑空间下,对每个$A\subset X$,有$c(A)=\bar A$.即Kuratovski闭包公理与拓扑定义等价.

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设$X$是一个度量空间,$X$中的点$x$到非空子集$A$的距离$\rho(x,A)$定义为$\mathrm{inf}(\rho(x,y)),\forall y\in A$.

设$A$是度量空间$X$的一个非空子集,则

• $x\in A'\Leftrightarrow\rho(x,A-\lbrace x\rbrace)=0$
• $x\in\bar A\Leftrightarrow\rho(x,A)=0$

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,则以下条件等价

• $f$是一个连续映射
• $Y$中的任何一个闭集$B$的原像$f^{-1}(B)$是一个闭集
• 对于$X$中的任何一个子集$A$,$A$的闭包的像包含于$A$的像的闭包,即$f(\bar A)\subset\overline{f(A)}$
• 对于$Y$中的任何一个子集$B$,$B$的闭包的原像包含$B$的原像的闭包,即$f^{-1}(B)\supset\overline{f^{-1}(B)}$

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设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X$,若$A$是点$x$的一个邻域,即存在空集$V$使得$x\in V\subset A$,则称$x$是集合$A$的内点.集合$A$的全部内点构成的集合称为$A$的内部,记作$A^o$.内部都是开集.

设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X$,则$A^o=\overline{A^c}^c$,$\bar A=A^{coc}$

拓扑空间$X$的子集$A$是开集当且仅当$A=A^o$.

设$X$是一个拓扑空间,则对任意$A,B\in X$

• $X^o=X$
• $A\supset A^o$
• $(A\cap B)^o=A^o\cap B^o$
• $A^{oo}=A^o$

设$X$是一个拓扑空间,记$\mathscr{T}$为$X$的拓扑,则对于$X$的每一个子集$A$,有$A^o=\bigcup_{B\in\mathscr{T},B\supset A}B$即$A$的内部等于包含于$A$的所有空集之并,即含于这个集合的最大开集.可仿照闭包运算定义内部运算.

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设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X$,$x\in X$.如果在$x$的任何邻域中既有$A$中的点又有$A^c$中的点,即有$U\cap A=\varnothing$和$U\cap A^c=\varnothing$,则称$x$是集合$A$的边界点.$A$的全体边界点构成的集合称为$A$的边界,记作$\partial A$.

• $\bar A=\overline{\bar A^o}=A^o\cup\partial A$
• $A^o=\overline{A^c}^c=\bar A-\partial A$
• $\partial A=\bar A\cap \overline{A^c}=\partial(A^c)$

基

设$X$是一个拓扑空间,$\mathscr{B}$是$\mathscr{T}$的一个子族,如果$\mathscr{T}$中的每一个元素(即$X$的每一个开集)都可表示成$\mathscr{B}$中某些元素的并,即$\forall U\in\mathscr{T},\exists\mathscr{B}_1\subset\mathscr{B},U=\cup_{B\in\mathscr{B}_1}B$,则称$\mathscr{B}$是拓扑$\mathscr{T}$的一个基.

一个度量拓扑空间中的所有球形邻域是这个度量空间的一个基.
实数空间的所有开区间构成一个基.
离散空间的所有单点集构成一个基.

设$\mathscr{B}$是拓扑空间$X$的一个开集族($\mathscr{B}\subset\mathscr{T}$),则$\mathscr{B}$是拓扑空间的一个基当且仅当对每一个$x\in X$和$x$的每一个邻域$U_x$,存在$V_X\in\mathscr{B}$使得$x\in V_x\subset U_x$.

设$X$是一个集合,$\mathscr{B}$是集合$X$的一个子集族($\mathscr{B}\subset P(X)$),有

• $\bigcup\limits_{B\in\mathscr{B}}B=X$
• $B_1,B_2\in\mathscr{B}$,则对于任何$x\in B_1\cap B_2$,存在$B\in\mathscr{B}$使得$x\in B\subset B_1\cap B_2$

则子集族$\mathscr{T}=\lbrace U\subset X|\exists \mathscr{B}_U\subset\mathscr{B},U=\bigcup_{B\in\mathscr{B}_U}B\rbrace$是集合$X$的唯一一个以$\mathscr{B}$为基的拓扑;反之,若$\mathscr{B}$是$X$某一个拓扑的基,则$\mathscr{B}$一定满足上述条件.

在实数集上,$\mathscr{B}=\lbrace[a,b)|a,b\in R,a<b\rbrace$是拓扑$\mathscr{T}_l$的基,该拓扑称为实数下限拓扑.$\mathscr{T}\subsetneqq\mathscr{T}_l$.

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设$(X,\mathscr{P})$是一个拓扑空间,$\mathscr{S}$是$\mathscr{P}$的一个子族,如果$\mathscr{S}$的所有非空有限子族之交构成的集族$\mathscr{B}=\lbrace \bigcap_{i=1}^{n}S_i|S_i\in\mathscr{S},n\in Z_+\rbrace$是拓扑$\mathscr{P}$的一个基,则称集族$\mathscr{S}$是拓扑$\mathscr{P}$的一个子基.

实数集的一个子集族$\mathscr{S}=\lbrace(a,+\infty)|a\in R\rbrace\cup\lbrace(-\infty,b)|b\in R\rbrace$是实数空间的一个子基.

设$X$是一个集合,$\mathscr{S}$是$X$的一个子集族($\mathscr{S}\subset P(X)$),若$X=\bigcup_{S\in\mathscr{S}}S$,则$X$有唯一的一个拓扑$\mathscr{P}$以$\mathscr{S}$为子基.若令$\mathscr{B}=\lbrace \bigcap_{i=1}^{n}S_i|S_i\in\mathscr{S},n\in Z_+\rbrace$则$\mathscr{P}=\lbrace\bigcup_{B\in\mathscr{B}_1}B|\mathscr{B}_1\subset\mathscr{B}\rbrace$

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,则以下条件等价

• $f$是一个连续映射
• $Y$中的有一个基$\mathscr{B}$,使得$\forall B\in\mathscr{B}$,原像$f^{-1}(B)$是一个开集
• $Y$中的有一个子基$\mathscr{S}$,使得$\forall S\in\mathscr{S}$,原像$f^{-1}(S)$是一个开集

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设$X$是一个拓扑空间,$x\in X$.记$\mathscr{U}_x$为$x$的邻域系.$\mathscr{U}_x$的子族$\mathscr{V}_x$若$\forall U\in\mathscr{U}_x,\exists V\in\mathscr{V}_x,V_x\subset U_x$,则称$\mathscr{V}_x$是点$x$的一个邻域基.$\mathscr{U}_x$的子族$\mathscr{W}_x$的每一个有限非空子集之交的全体构成的集族,即$\lbrace \bigcap_{i=1}^{n}W_i|W_i\in\mathscr{W},n\in Z_+\rbrace$是$\mathscr{U}_x$的一个邻域基,则$\mathscr{W}_x$是$x$的一个邻域子基.

度量空间某个点的全体球形邻域是这个点的一个邻域基.
度量空间某个点的全体有理数半径球形邻域是这个点的一个邻域基.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,$x\in X$,则以下条件等价

• $f$在点$x$处连续
• $f(x)$有一个邻域基$\mathscr{V}_{f(x)}$,使得$\forall V\in\mathscr{V}_{f(x)}$,原像$f^{-1}(V)$是一个邻域
• $f(x)$有一个邻域子基$\mathscr{W}_{f(x)}$,使得$\forall V\in\mathscr{W}_{f(x)}$,原像$f^{-1}(W)$是一个邻域

设$X$是一个拓扑空间,$x\in X$,则

• 若$\mathscr{B}$是$X$的一个基,则$\mathscr{B}_x=\lbrace B\in\mathscr{B}|x\in B\rbrace$是点$x$的一个邻域基
• 若$\mathscr{S}$是$X$的一个子基,则$\mathscr{S}_x=\lbrace S\in\mathscr{S}|x\in S\rbrace$是点$x$的一个邻域子基

序列

设$X$为一个拓扑空间,映射$S:Z_+\rightarrow X$叫做$X$的一个序列,记作$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$.

设$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$是拓扑空间$X$的一个序列,$x\in X$.若对$x$的每一个邻域$U$,存在$M\in Z_+$,当$i>M$时有$x_i\in U$,则称点$x$是序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$的一个极限点,记作$\lim\limits_{i\rightarrow\infty}x_i=x$.如果序列至少有一个极限,称序列收敛.

设$X$是一个拓扑空间,$S,S_1:Z_+\rightarrow X$是$X$中的两个序列.如果存在一个严格递增的映射$N:Z_+\rightarrow Z_+$,使得$S_1=S\circ N$,则称$S_1$是$S$的一个子序列,记作$\lbrace x_{N(i)}\rbrace_{i\in Z_+}$.

$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$是拓扑空间$X$的一个序列,则

• 若$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$是一个常值序列,即对于某个$x$,有$x_i=x,i\in Z_+$,则$\lim\limits_{i\rightarrow\infty}x_i=x$
• 若$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$收敛于$x\in X$,则$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$的每一个子序列都收敛于$x$.

设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X,x\in X$.如果有一个序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$在$A-\lbrace x\rbrace$中,并收敛于$x$,则$x$是$A$的一个聚点.反之则不然.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,则

• 如果$f$在点$x_0\in X$处连续,则$X$中的一个序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$收敛于$x_0$蕴含$Y$中的序列$\lbrace f(x_i)\rbrace_{i\in Z_+}$收敛于$f(x_0)$
• 若$f$连续,则$X$中的一个序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$收敛于$x\in X$蕴含$Y$中的序列$\lbrace f(x_i)\rbrace_{i\in Z_+}$收敛于$f(x_0)$

逆命题不成立.

设$X$是一个度量空间,$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$是$X$中的一个序列,$x\in X$,则以下条件等价:

• 序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in Z_+}$收敛于$x$
• $\forall\varepsilon>0,\exists N\in Z_+,\forall i>N,\rho(x_i,x)<\varepsilon$
• $\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\rho(x_i,x)=0$

子空间、积空间、商空间

子空间

设$(X,\rho)$为一个度量空间,$Y$是$X$的一个子集,$\rho|_{Y\times Y}$称为$\rho$诱导出来的度量,$(Y,\rho)$称为$(X,\rho)$的度量子空间.

实数空间的子集如$(a,b)$,$(a,b]$,$[a,b]$等是度量子空间.
$n+1$维空间中的欧式球面.
$n$维开球,$n$维闭球等.

设$Y$是度量空间$X$的度量子空间,则$Y$的子集$U$是$Y$的开集当且仅当存在一个$X$中的开集$V$使得$U=V\cap Y$.

设$Y$是拓扑空间$(X,\mathscr{T})$的子集,则集族$\mathscr{T}|_Y$是$Y$的一个拓扑,称为相对拓扑,$Y$是$X$的拓扑子空间.$\mathscr{T}|_Y$表示$\lbrace Y\cap T|T\in \mathscr{T}\rbrace$称为$\mathscr{T}$在$Y$上的限制.

设$Y$是度量空间$X$的度量子空间,则$Y$作为拓扑空间也是拓扑空间$X$的拓扑子空间.

设$Y$是拓扑空间$X$的子空间,设$Z$是拓扑空间$Y$的子空间,则设$Z$是拓扑空间$X$的子空间.

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设$Y$是拓扑空间$X$的子空间,$y\in Y$

• 记$\mathscr{T}$和$\tilde\mathscr{T}$为$X$和$Y$的拓扑,则$\tilde\mathscr{T}=\mathscr{T}|_{Y}$
• 记$\mathscr{F}$和$\tilde\mathscr{F}$为$X$和$Y$的全体闭集族,则$\tilde\mathscr{F}=\mathscr{F}|_{Y}$.
• 记$\mathscr{U}_y$和$\tilde{\mathscr{U}_y}$为$y$在$X$和$Y$的邻域系,则$\tilde\mathscr{U}=\tilde{\mathscr{U}_y}$

设$Y$是拓扑空间$X$的子空间,$A\subset Y$

• $A$在$Y$中的导集$d_Y(A)$是$A$在$X$中的导集与$Y$的交.
• $A$在$Y$中的闭包$c_Y(A)$是$A$在$X$中的闭包与$Y$的交.

设$Y$是拓扑空间$X$的子空间,$y\in Y$

• 如果$\mathscr{B}$是$X$的一个基,则$\mathscr{B}|_{Y}$是$Y$的一个基.
• 如果$\mathscr{V}_y$是$y$在$X$的一个邻域基,则$\mathscr{B}_y|_{Y}$是$y$在$Y$的一个邻域基.

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设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$如果它是一个单射,并且是从$X$到它的像集$f(X)$的一个同胚,称为一个嵌入,此时称$X$可嵌入$Y$.($Y$与$X$的某个子空间同胚,$Y$在同胚意义下是$X$的子空间)

含有多余一个点的离散空间不可能嵌入到任何一个平庸空间去,前者不可度量,后者可度量.
含有多余一个点的平庸空间不可能嵌入到任何一个离散空间去,前者不可度量,后者可度量.

有限积空间

设$(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2),\cdots,(X_n,\rho_n),n\ge1$为度量空间,令$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$,定义$\rho:X\times X\rightarrow R$,有$\rho=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\rho_i^2}$,称为积度量,$(X,\rho)$称为度量积空间.

$n$维欧式空间$R^n$是$n$个实数空间的度量积空间.

设$(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2),\cdots,(X_n,\rho_n),n\ge1$为度量空间,$(X,\rho)$为度量积空间,设$\mathscr{T}_i$和$\mathscr{T}$分别为度量$\rho_i$和$\rho$所诱导出来的拓扑,则$X$的子集族$\mathscr{B}=\lbrace U_1\times U_2\times\cdots\times U_n|U_i\in\mathscr{T}_i\rbrace$是拓扑$\mathscr{T}$的一个基.

设$(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2),\cdots,(X_n,\rho_n),n\ge1$为拓扑,则$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$,有唯一一个拓扑$\mathscr{T}$以$X$的子集族$\mathscr{B}=\lbrace U_1\times U_2\times\cdots\times U_n|U_i\in\mathscr{T}_i\rbrace$为它的一个基,称为积拓扑,$(X,\mathscr{T})$称为拓扑积空间.

设$X$是度量积空间,则将$X$作为拓扑空间时也是拓扑积空间.

$R^n$是$n$个$R$的拓扑积空间.

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设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,$\mathscr{B}_i$是$X_i$的基,则$X$的子集族$\tilde\mathscr{B}=\lbrace B_1\times B_2\times\cdots B_n|B_i\in\mathscr{B}_i\rbrace$是$X$的一个基.

实数空间$R$有一个基由全体开区间构成,$n$维欧式空间$R^n$有一个基由所有开立方体构成.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,$\mathscr{T}_i$和$\mathscr{T}$分别为$X_i$和$X$的拓扑,则$X$以子集族$\mathscr{S}=\lbrace \pi_i^{-1}(U_i)|U_i\in\mathscr{T}_i$为它的一个子基.其中$\pi_i:X\rightarrow X_i$为投影.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,则$\pi_i:X\rightarrow X_i$是满的连续开映射,即把任何开集映射为开集.

$\pi_i:X\rightarrow X_i$未必是闭映射,如$\pi_i:R^2\rightarrow R$,闭集$B=\lbrace(x_1,x_2)\in R^2|x_1x_2=1\rbrace$,但$\pi_1(B)=R-\lbrace0\rbrace$不是$R$的闭集.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,$Y$为拓扑空间.则映射$f:Y\rightarrow X$连续当且仅当对每一个$i$,映射$\pi_i\circ f:Y\rightarrow X_i$连续.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,$\mathscr{T}$是积拓扑.考虑$\tilde\mathscr{T}$满足$\pi_i:X\rightarrow X_i$是连续映射,则$\mathscr{T}\subset\tilde\mathscr{T}$.即积拓扑是使得积空间到每一个做表空间的投影都连续的最小拓扑.

设$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge2$是拓扑空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$同胚于$(X_1\times X_2\times\cdots\times X_{n-1})\times X_n$.即积空间可以归纳地定义.

商空间

设$X$是一个拓扑空间,$Y$是一个集合,$f:X\rightarrow Y$是一个满射.则$Y$的子集族$\mathscr{T}_1=\lbrace U\subset Y|f^{-1}(U)\in\mathscr{T}\rbrace$是$Y$的一个拓扑,称为商拓扑.

设$X$是一个拓扑空间,$Y$是一个集合,$f:X\rightarrow Y$是一个满射.有

• 若$\mathscr{T}_1$是$Y$的商拓扑,则$f:X\rightarrow Y$是一个连续映射.
• 若$\tilde\mathscr{T}_1$是$Y$的拓扑,且对于$\tilde\mathscr{T}_1$而言$f$是连续的,则$\tilde\mathscr{T}_1\subset\mathscr{T}_1$.即商拓扑使$f$连续的最大拓扑.

设$X$和$Y$是拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个满射且$Y$的拓扑是对于$f$而言的商映射,则称$f$是一个商映射.

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设$X$,$Y$,$Z$是拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个商映射,则映射$g:Y\rightarrow Z$连续当且仅当映射$g\circ f:X\rightarrow Z$连续.

设$X$和$Y$是拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个商映射.令$R=\lbrace(x_1,x_2)\in X^2|f(x_1)=f(x_2)\rbrace$,则

• $R$是$X$中的一个等价关系
• $Y$同胚于商空间$X/R$

设$X$和$Y$是拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个连续的满射,并且是一个开映射或闭映射,则$Y$的拓扑便是相对于$f$的商拓扑.

设$X$是一个拓扑空间,$R$是$X$中的一个等价关系,商集$X/R$(相对于自然投影$\pi:X\rightarrow X/R$)的商拓扑$\mathscr{T}_R$称为$X/R$(相对于$R$的)商拓扑.$(X/R,\mathscr{T}_R)$称为$(X,\mathscr{T})$的商空间.

在实数空间$R$上给定$\sim=\lbrace(x,y)\in R^2|x,y\in Q\quad\text{or}\quad x,y\notin Q\rbrace$,则$R/\sim=\lbrace[0],[\sqrt2]\rbrace$,称为将实数空间中所有有理点和所有无理点分别粘合为一点得到的商空间,商拓扑是平庸拓扑.
在单位闭区间$I=[0,1]$上给定$\sim=\lbrace(x,y)\in I^2|x=y\quad\text{or}\quad \lbrace x,y\rbrace=\lbrace0,1\rbrace\rbrace$,则$I/\sim$称为将单位闭区间$I$中两个端点粘合为一点所得到的商空间,其与单位圆周$S^1$同胚.
将正方形的对边同向粘合,可以得到圆柱,其与$S^1\times I$同胚.
将正方形的对边反向粘合,可以得到Mobius带.
将圆柱两端同向粘合,可以得到环面,同胚于$S^1\times S^1$.
将圆柱两端反向粘合,可以得到Klein瓶.

连通性

连通空间

设$A$和$B$是拓扑空间的两个子集,若$(A\cap\bar B)\cup(B\cap\bar A)=\varnothing$,即互不包含的对方凝聚点的不交子集,则称$A$和$B$是隔离的.

在$R$中,$(0,1)$和$(1,2)$隔离,但$(0,1)$和$[1,2)$不隔离.
空集和任意子集隔离.
平庸空间中的任何子集都不隔离.
离散空间中的任意不交子集都是隔离的.

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$中有两个非空的隔离子集$A$和$B$使得$X=A\cup B$,则称$X$是一个不连通空间,否则称$X$是一个连通空间.

多于一个点的离散空间是不连通空间
而任何平庸空间都是连通空间

设$X$是一个拓扑空间,则以下条件等价:

• $X$是一个不连通空间
• $X$中存在两个非空的闭子集$A$和$B$使得$A\cap B=\varnothing$和$A\cup B=X$成立
• $X$中存在两个非空的开子集$A$和$B$使得$A\cap B=\varnothing$和$A\cup B=X$成立
• $X$中存在一个既开又闭的非空真子集.

有理数集$Q$是一个不连通空间.
实数空间$R$是一个连通空间.

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设$Y$是拓扑空间$X$的一个子集,如果$Y$作为$X$的子空间是一个连通空间,则称$Y$是$X$的一个连通子集,否则称为不连通子集.

设$X$是一个拓扑空间,且有$Y\subset Z\subset X$,则$Y$是$X$的连通子集,当且仅当$Y$是$Z$的连通子集.

设$Y$是拓扑空间$X$的一个子集,$A,B\subset Y$,则$A$和$B$是子空间$Y$中的隔离子集当且仅当它们是$X$中的隔离子集.

设$Y$是拓扑空间$X$中的一个连通子集,如果$X$中有隔离子集$A$和$B$使得$Y\subset A\cup B$,则有$Y\in A$或$Y\in B$.

设$Y$是拓扑空间$X$的连通子集,$Z\subset X$,且满足$Y\subset\bar Y$,则$Z$也是$X$的一个连通子集.

设$\lbrace Y_\gamma\rbrace_{\gamma\in\varGamma}$是拓扑空间$X$的连通子集构成的子集族,若$\bigcap\limits_{\gamma\in\varGamma}Y_\gamma\neq\varnothing$,则$\bigcup\limits_{\gamma\in\varGamma}Y_\gamma\neq\varnothing$是$X$的一个连通子集.

$R^2$中的若干条直线同胚于$R$,交于一点,组成的图形是连通的.

设$Y$是拓扑空间$X$中的一个子集,如果对于任意$x,y\in Y$,存在$X$中的一个连通子集$Y_{xy}$使得$x,y\in Y_{xy}\subset Y$,则$Y$是$X$中的一个连通子集.

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设$f:X\rightarrow Y$是从连通空间到拓扑空间$Y$的一个连续满射,则$Y$是连通空间.称连通性为在连续映射下保持不变的性质.

拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有则必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个可商性质.

连通性是可商性质,连通空间的商空间是连通的.

设$f:X\rightarrow Y$是从连通空间到拓扑空间$Y$的一个连续映射,则$f(x)$是$Y$的一个连通子集.

拓扑空间的某种性质,如果为任意$n\ge1$个拓扑空间$X_1,X_2,\cdots,X_n$所具有则必然为积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$所具有,则称这个性质是一个有限可积性质.

离散空间的积空间还是离散空间,平庸空间的积空间还是平庸空间,离散性和平庸性是有限可积性质.
连通空间的积空间还是连通空间.
$R^n$是连通空间.

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设$X$是一个拓扑空间,$x,y\in X$,如果存在$X$中的一个连通子集包含$x$和$y$,则称$x$和$y$连通.连通关系是一个等价关系.对于$X$中的点的连通关系而言,每一个等价类称为拓扑空间$X$的一个连通分支.

平庸空间只有一个连通分支.
离散空间每一个单点集都是一个连通分支.

设$X$是一个拓扑空间,$C$是$X$的一个连通分支,则

• 如果$Y$是$X$的一个连通子集,且$Y\cap C\neq\varnothing$,则$Y\subset C$.
• $C$是一个连通子集.
• $C$是闭集.

即每一个连通分支都是最大的连通子集.

连通空间可以不是开集,如$Q$的单点集.
当连通分支数目有限时,$C$也一定是开集.

连通空间的数目是拓扑不变性质.

连通空间的应用

设$E$是实数空间$R$的一个子集,则$E$是一个连通子集当且仅当$E$是一个区间.

设$X$是一个连通空间,$f:X\rightarrow R$是一个连续映射,则$f(x)$是$R$中的一个区间.因此,若有$x,y\in X$,则对于$f(x)$和$f(y)$之间的任意实数$t$,总有$z\in X$使得$f(z)=t$.

(介值定理).设$f:[a,b]\rightarrow R$是一个连续映射,则对于$f(a)$和$f(b)$之间的任何一个实数$r$,存在$z\in[a,b]$使得$f(z)=r$.

(不动点定理)设$f:[0,1]\rightarrow[0,1]$,则存在$z\in[0,1]$使得$f(z)=z$.

(Brouwer不动点定理)设$f:D^n\rightarrow D^n$是一个连续映射,则存在$z\in D^n$,使得$f(z)=z$.

(Borsuk-Ulam定理)设$f:S^1\rightarrow R$是一个连续映射,则在$S^1$中存在一对对径点$x$和$-x$,使得$f(x)=f(-x)$.

(Borsuk-Ulam定理)设$f:S^n\rightarrow R^l(n\ge l)$是一个连续映射,则存在$x\in S^n$,使得$f(x)=f(-x)$.

地球上总存在对称的两点,它们的温度和大气压的值正好都相同.

$n>1$维欧式空间$R^n$的子集$R^n-\lbrace0\rbrace$是一个连通子集.

$R^2$和$R$是不同胚的.$(a,b)$和$[a,b]$不同胚,一个圆和两个相切的圆不同胚.

局部连通

设$X$是一个拓扑空间,$x\in X$,若$x$的每一个邻域$U$中都包含着$x$的某一个连通的邻域$V$,则称$X$在$x$处局部连通.$x$处局部连通当且仅当$x$的所有连通邻域构成$x$的一个邻域基.若$X$在其内的每一个点都局部连通,则称$X$是一个局部连通空间.

每一个离散空间都是局部连通空间,但多于一个点的离散空间是不连通的.
$R^n$的任何开子空间局部连通的,但两个不交开集并不是连通的.
令$S=\lbrace(x,\sin\dfrac1x)|x\in(0,1]\rbrace$,$T=\lbrace0\rbrace\times[-1,1]$,则$S$是连通的,$\bar S=S\cup T$也是连通的,但$\bar S$在$T$不局部连通,$\bar S$不是局部连通的.

设$X$是一个拓扑空间,则以下条件等价:

• $X$是一个局部连通空间
• $X$的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集
• $X$有一个基,它的每一个元素都是连通的

从而,局部连通空间的每一个连通分支都是开集.

设$X$和$Y$都是拓扑空间,其中$X$局部连通,又设$f:X\rightarrow Y$是一个连续开映射,则$f(X)$是一个局部连通空间.

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是$n\ge1$个局部连通空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$也是局部连通空间.

道路连通空间

设$X$是一个拓扑空间,从单位闭区间$[0,1]$到$X$的每一个连续映射$f:[0,1]\rightarrow X$叫做$X$中的一条道路,像集$f([0,1])$称作一条曲线.

设$X$是一个拓扑空间,若对于任何$x,y$,存在$X$中的一条从$x$到$y$的道路,则称$X$是一个道路连通空间.如$X$中的一个子集$Y$是一个道路连通空间,则称作$X$中的一个道路连通子集.

如果拓扑空间$X$是一个道路连通空间,在$X$也是连通空间.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,其中$X$是道路连通的,$f:X\rightarrow Y$是一个连续映射,则$f(X)$是道路连通的.

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是$n\ge1$个道路连通空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$也是道路连通空间.

设$X$是一个拓扑空间,$x,y\in X$,如果$X$中有一条从$x$到$y$的道路,则称$x$和$y$是道路连通的.道路连通关系是一个等价关系,对于$X$中的道路连通关系而言,每一个等价类称为$X$的一个道路连通分支.

$R^n$的任何一个连通开集都是道路连通的.
$R^n$的任何开集的每一个道路连通分支同时也是一个连通分支.

可数性公理

可数性公理

一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间,简称为$A_2$空间.

实数空间$R$是一个$A_2$空间,选取所有有理数为端点的开区间作为基族.
不可数离散空间不是$A_2$空间.

一个拓扑空间如果在每一点都有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为$A_1$空间.

每一个度量空间都是一个$A_1$空间.
$X$是包含不可数个点的可数补空间,则$X$不是$A_1$空间.

$A_2$空间都是$A_1$空间,但反之不成立.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个满的连续开映射,如果X满足第二(一)可数性公理,则$Y$也满足第二(一)可数性公理.

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拓扑空间的某种性质称为可遗传性质,如果一个拓扑空间具有则任何一个子空间也具有.拓扑空间的某种性质称为对于开(闭)子空间可遗传性质,如果一个拓扑空间具有则任何一个开(闭)子空间也具有.

离散性,平庸性都是可遗传性质.
连通性不是可遗传性质,但连通性对于开子空间可遗传.
如下,两个可数公理是可遗传的,也是有限可积的.

满足第二(一)可数性公理的空间的任何一个子空间也是满足第二(一)可数性公理的空间.

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是$n$个满足第二(一)可数性公理的空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$也是满足第二(一)可数性公理的空间.

$R^n$的每一个子空间都是$A_2$空间.